Phương pháp tích phân từng phần

1 $\int\limits_{0}^{\pi^2}\sin\sqrt{x}dx$

2, $\int\limits_{0}^{\pi}x\sin x\cos^2xdx$

3, $\int\limits_{1}^{2}\frac{\ln(1+x)}{x^2}dx$

4, $\int\limits_{0}^{1}(x+1)^2e^{2x}dx$

(phương pháp đổi biến số)
1, $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos x+\sin x}{\sqrt{3+\sin2x}}dx$

2, $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin2x}{\sqrt{\cos^2x+4\sin^2x}}dx$

3, $\int\limits_{\ln3}^{\ln5}\frac{dx}{e^x+2e^{-x}-3}dx$

4, $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin2x}{(2+\sin x)^2}dx$

Phương pháp đổ biến số  ( Hướng dẫn cách giải cho e thôi cũng đc, k cần làm ra hẳn đáp án đâu)

1, $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin2x(1+\sin^2x)^3dx$

Ta có pt hoành độ giao điểm của (Cm) và d là:

 $x^3+3x^2+mx+1=1\Leftrightarrow x^3+3x^2+mx=0\Leftrightarrow x(x^2+3x+m)=0   (1)\Leftrightarrow \left[\begin {gathered} x=0\\x^2+3x+m=0    (2)\end{gathered} \right.$

Để (Cm) cắt d tại 3 điểm pb thì (1) phải có 3 nghiệm pb  hay pt (2) có 2 nghiệm pb khác 0

Đk:  $\begin{cases} \Delta>0 \\ m\neq 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}9-4m>0 \\ m\neq 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m<\frac{9}{4} \\ m\neq 0\end{cases}$   $(*)$

Gọi  $D(x_1;1),E(x_2;1)\Rightarrow x_1,x_2$ là nghiệm của pt (2) nên theo Vi-et ta có:  $\begin{cases}x_1+x_2=-3 \\ x_1.x_2=m \end{cases}$

Ta có  $y'=3x^2+6x+m\Rightarrow $  hệ số góc của tiếp tuyến tại D và E lần lượt là :

$y'(x_1)=3x_1^2+6x_1+m;  y'(x_2)=3x_2^2+6x_2+m$

Theo GT tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau nên ta có: 

$y'(x_1).y'(x_2)=-1\Leftrightarrow (3x_1^2+6x_1+m)(3x_2^2+6x_2+m)=-1$

$\Leftrightarrow 4m^2-9m+1=0\Leftrightarrow \left[\begin {gathered} m=\frac{9-\sqrt{65}}{8}\\m=\frac{9+\sqrt{65}}{8}\end{gathered} \right.$  (Thỏa mãn  $(*)$)

pt đã cho tương đương: $4^{x^2-3x+2}+4^{x^2+6x+5}-4^{x^2-3x+2}.4^{x^2+6x+5}-1=0$

Đặt $\begin{cases}u=4^{x^2-3x+2} \\ v=4^{x^+6x+5} \end{cases}\Rightarrow $ pt có dạng 

$u+v-uv-1=0\Leftrightarrow (1-v)(u-1)=0\Leftrightarrow \left[\begin {gathered} 1-v=0\\u-1=0\end{gathered} \right.\Leftrightarrow \left[\begin {gathered} 1=4^{x^2-3x+2}\\1=4^{x^2+6x+5}\end{gathered} \right.\Leftrightarrow \left[\begin {gathered} x^2-3x+2=0\\x^2+6x+5=0\end{gathered} \right.\Leftrightarrow \left[\begin {gathered} \left[\begin {gathered} x=2\\x=1\end{gathered} \right.\\\left[\begin {gathered} x=-1\\x=-5\end{gathered} \right.\end{gathered} \right.$

Vậy pt có 4 nghiệm