Xét: A=(a2+b2+c2)(a+b+c)−3(a2.b+b2.c+c2.a)=a3+b3+c3+a.b2+b.c2+c.a2−2a2.b−2b2.c−2c2.a=a2(a−b)+b2(b−c)+c2(c−a)+(b−a).c2+(a−c).b2+(c−b).a2=(a−b)2.(a+b)+(b−c)2.(b+c)+(c−a)2.(c+a)≥0Vì a,b,c là các số dương nên A≥0Hay, (a2+b2+c2)(a+b+c)≥3.(a2.b+b2.c+c2.a)Hay, $\frac{a^2+b^2+c^2}{(a^2+b^2+c^2} \leq \frac{a+b+c}{3}Nên,P\leq \frac{a+b+c}{3} - \frac{a^2+b^2+c^2}{3}⇔12P≤4a+4b+4c−4a2−4b2−4c2\Leftrightarrow 12P \leq 4a - 4a^2 -1 + 4b - 4b^2 - 1 + 4c - 4c^2 - 1 + 3⇔12P≤−(2a−1)2−(2b−1)2−(2c−1)2+3\Leftrightarrow 12P \leq 3$$\Leftrightarrow P\leq \frac{1}{4}$Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{2}$
Xét:
A=(a2+b2+c2)(a+b+c)−3(a2.b+b2.c+c2.a)=a3+b3+c3+a.b2+b.c2+c.a2−2a2.b−2b2.c−2c2.a=a2(a−b)+b2(b−c)+c2(c−a)+(b−a).c2+(a−c).b2+(c−b).a2=(a−b)2.(a+b)+(b−c)2.(b+c)+(c−a)2.(c+a)≥0Vì
a,b,c là các số dương nên
A≥0Hay,
(a2+b2+c2)(a+b+c)≥3.(a2.b+b2.c+c2.a)Hay, $\frac{a^2
b+b^2
c+c^2
a}{a^2+b^2+c^2} \leq \frac{a+b+c}{3}
Nên,P\leq \frac{a+b+c}{3} - \frac{a^2+b^2+c^2}{3}
⇔12P≤4a+4b+4c−4a2−4b2−4c2\Leftrightarrow 12P \leq 4a - 4a^2 -1 + 4b - 4b^2 - 1 + 4c - 4c^2 - 1 + 3
⇔12P≤−(2a−1)2−(2b−1)2−(2c−1)2+3\Leftrightarrow 12P \leq 3$$\Leftrightarrow P\leq \frac{1}{4}$Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{2}$