(∑xyxy+yz√)2≤(∑(xy+xz))(x2y2(xy+yz)(xy+xz))=(2∑xy)(∑x2y2(yz+xz)(xy+yz)(xy+xz)(yz+zx)Mà ∑x2y2(yz+xz)(xy+yz)(xy+xz)(yz+zx)=∑xy(x+y)(x+y)(y+z)(x+z)Do đó, ta cần chứng minh (2∑xy).∑xy(x+y)(x+y)(y+z)(z+x)≤12 Đặt a+b+c=p,ab+bc+ca=q,abc=rChuyển pqr, ta cần chứng minh r(12q−1)≥4q2−qTH1: 14≤q≤13Khi đó, áp dụng BĐT Schur bậc 3 ta có đpcm.TH2: 112≤q≤14 thì ta có đpcm do VT≥0≥VPTH3: 0≤q≤112 Khi đó, ta có cả 2 vế đều âmDo đó đổi dấu, ta cần chứng minh r(1−12q)≤q−4q2Hay r≤q−4q21−12qMà ta có pq≥9r⇒r≤q9 ( do p=1 ) Khi đó, ta cần chứng minh q9≤q−4q21−12q⇔q≤13 đúngVây ta có đpcm.
(∑xyxy+yz√)2≤(∑(xy+xz))(x2y2(xy+yz)(xy+xz))=(2∑xy)(∑x2y2(yz+xz)(xy+yz)(xy+xz)(yz+zx)Mà ∑x2y2(yz+xz)(xy+yz)(xy+xz)(yz+zx)=∑xy(x+y)(x+y)(y+z)(x+z)Do đó, ta cần chứng minh (2∑xy).∑xy(x+y)(x+y)(y+z)(z+x)≤12 Đặt a+b+c=p,ab+bc+ca=q,abc=rChuyển pqr, ta cần chứng minh r(12q−1)≥4q2−qTH1: 14≤q≤13Khi đó, áp dụng BĐT Schur bậc 3 ta có đpcm.TH2: 112≤q≤14 thì ta có đpcm do VT≥0≥VPTH3: 0≤q≤112 Khi đó, ta có cả 2 vế đều âmDo đó đổi dấu, ta cần chứng minh r(1−12q)≤q−4q2Hay r≤q−4q21−12qMà ta có pq≥9r⇒r≤q9 ( do p=1 ) Khi đó, ta cần chứng minh q9≤q−4q21−12q⇔q≤13 đúngVây ta có đpcm.
(∑xyxy+yz√)2≤(∑(xy+xz))(x2y2(xy+yz)(xy+xz))=(2∑xy)(∑x2y2(yz+xz)(xy+yz)(xy+xz)(yz+zx)Mà ∑x2y2(yz+xz)(xy+yz)(xy+xz)(yz+zx)=∑xy(x+y)(x+y)(y+z)(x+z)Do đó, ta cần chứng minh (2∑xy).∑xy(x+y)(x+y)(y+z)(z+x)≤12 Đặt a+b+c=p,ab+bc+ca=q,abc=rChuyển pqr, ta cần chứng minh r(12q−1)≥4q2−qTH1: 14≤q≤13Khi đó, áp dụng BĐT Schur bậc 3 ta có đpcm.TH2: 112≤q≤14 thì ta có đpcm do VT≥0≥VPTH3: 0≤q≤112 Khi đó, ta có cả 2 vế đều âmDo đó đổi dấu, ta cần chứng minh r(1−12q)≤q−4q2Hay r≤q−4q21−12qMà ta có pq≥9r⇒r≤q9 ( do p=1 ) Khi đó, ta cần chứng minh q9≤q−4q21−12q⇔q≤13 đúngVây ta có đpcm.