Quay lại đáp án

ta có $(a+b+\sqrt{2(a+c)}) ^{3}= (a+b+ \sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}})^{3} \geq \frac{27}{2}(a+b)(a+c)$TT suy ra ta cần CM$\sum \frac{1}{(a+b)(a+c)}\leq12$$\Leftrightarrow \frac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq12$$\Leftrightarrow 6(a+b)(b+c)(c+a)\geq a+b+c$mà $9(a+b)(b+c)(c+a)\geq8(a+b+c)(ab+bc+ca)$như vậy ta cân CM $ab+bc+ca \geq \frac{3}{16} \Leftrightarrow 16(ab+bc+ca) \geq3$có $ab+bc+ca \leq16abc(a+b+c) \leq \frac{16}{3}(ab+bc+ca)^{2} \Rightarrow ab+bc+ca\geq \frac{3}{16}$Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{4}$

ta có $ (a+b+2\sqrt{a+c})^3>(a+b+\sqrt{2(a+c)}) ^{3}= (a+b+ \sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}})^{3} \geq \frac{27}{2}(a+b)(a+c)$TT suy ra ta cần CM$\sum \frac{1}{(a+b)(a+c)}\leq12 $$\Leftrightarrow \frac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq12$$ \Leftrightarrow 6(a+b)(b+c)(c+a)\geq a+b+c$mà$9(a+b)(b+c)(c+a)\geq8(a+b+c)(ab+bc+ca)$như vậy ta cân CM$ab+bc+ca \geq \frac{3}{16} \Leftrightarrow 16(ab+bc+ca) \geq3$có$ab+bc+ca \leq16abc(a+b+c) \leq \frac{16}{3}(ab+bc+ca)^{2} \Rightarrow ab+bc+ca\geq \frac{3}{16}$Không xảy ra dấu bằng

ta có $(a+b+\sqrt{2(a+c)}) ^{3}= (a+b+ \sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}})^{3} \geq \frac{27}{2}(a+b)(a+c)$TT suy ra ta cần CM$\sum \frac{1}{(a+b)(a+c)}\leq12$$\Leftrightarrow \frac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq12$$\Leftrightarrow 6(a+b)(b+c)(c+a)\geqa+b+c$mà $9(a+b)(b+c)(c+a)\geq8(a+b+c)(ab+bc+ca)$như vậy ta cân CM $ab+bc+ca \geq \frac{3}{16} \Leftrightarrow 16(ab+bc+ca) \geq3$có $ab+bc+ca \leq16abc(a+b+c) \leq \frac{16}{3}(ab+bc+ca)^{2} \Rightarrow ab+bc+ca\geq \frac{3}{16}$Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{4}$

ta có $(a+b+\sqrt{2(a+c)}) ^{3}= (a+b+ \sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}})^{3} \geq \frac{27}{2}(a+b)(a+c)$TT suy ra ta cần CM$\sum \frac{1}{(a+b)(a+c)}\leq12$$\Leftrightarrow \frac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq12$$\Leftrightarrow 6(a+b)(b+c)(c+a)\geq a+b+c$mà$9(a+b)(b+c)(c+a)\geq8(a+b+c)(ab+bc+ca)$như vậy ta cân CM$ab+bc+ca \geq \frac{3}{16} \Leftrightarrow 16(ab+bc+ca) \geq3$có$ab+bc+ca \leq16abc(a+b+c) \leq \frac{16}{3}(ab+bc+ca)^{2} \Rightarrow ab+bc+ca\geq \frac{3}{16}$Dấu "="$\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{4}$