Cách 2 : Với mỗi y,z cố định ∈[0;1] , xét hàm số biến x : F(x)=xy+z+1+yz+x+1+zx+y+1+(1−x)(1−y)(1−z),0≤x≤1Có : F′(x)=1y+z+1−y(z+x+1)2−z(x+y+1)2−(1−y)(1−z)=>F″(x)=2y(z+x+1)2+2z(x+y+1)2≥0 (do y,z >=0 )=> F''(x) là hàm đồng biến khi o≤x≤1=> 3 TH : TH 1 : Nếu F′(x)>=0∀0≤x≤1 . Khi đó F(x) là hàm đồng biến trên 0≤x≤1 , =>∀0≤x≤1 , ta có : F(x)≤F(1)=1y+z+1+yz+1+1+z1+y+1≤1+y+zy+z+1=1(doy≤1;z≤1)TH2 : Nếu F′(x)≤0∀0≤x≤1 Khi đó F(x) là hàm nb trên 0=Tacó:F(x) \leq F(0) =\frac{y}{z+1}+ \frac{z}{y+1}+(1-y)(1-z)= \frac{1+y+z+y^{2}z^{2}}{1+y+z+yz}Do:y^{2}z^{2} \leq yz vày,z \in [0;1]=>F(x) \leq 1 \forall x \in [0;1]TH3:NếuF′(x)códấuthayđổitrên[0;1].DoF'(x) làhàmđbtrên[0;1]Và:F(0) \leq 1 ; F(1) \leq 1=> F(x) \leq 1 \forall 0\leq x\leq 1ALL=>luôncó:P \leq 1$Vậy Max P = 1
Cách 2 : Với mỗi
y,z cố định
∈[0;1] , xét hàm số biến x :
F(x)=xy+z+1+yz+x+1+zx+y+1+(1−x)(1−y)(1−z),0≤x≤1Có :
F′(x)=1y+z+1−y(z+x+1)2−z(x+y+1)2−(1−y)(1−z)=>F″(x)=2y(z+x+1)2+2z(x+y+1)2≥0 (do y,z >=0 )=> F''(x) là hàm đồng biến khi
o≤x≤1=> 3 TH : TH 1 : Nếu
F′(x)>=0∀0≤x≤1 . Khi đó F(x) là hàm đồng biến trên
0≤x≤1 ,
=>∀0≤x≤1 , ta có :
F(x)≤F(1)=1y+z+1+yz+1+1+z1+y+1≤1+y+zy+z+1=1(doy≤1;z≤1)TH2 : Nếu
F′(x)≤0∀0≤x≤1 Khi đó F(x) là hàm nb trên
0=Tacó:F(x) \leq F(0) =\frac{y}{z+1}+ \frac{z}{y+1}+(1-y)(1-z)= \frac{1+y+z+y^{2}z^{2}}{1+y+z+yz}
Do:y^{2}z^{2} \leq yz
vày,z \in [0;1]=>F(x) \leq 1 \forall x \in [0;1]
TH3:NếuF′(x)códấuthayđổitrên[0;1]
.DoF'(x)
làhàmđbtrên[0;1]
Và:F(0) \leq 1 ; F(1) \leq 1=> F(x) \leq 1 \forall 0\leq x\leq 1
ALL=>luôncó:P \leq 1$Vậy Max P = 1
Bài toán tổng quát : Cho 0≤ai≤1,i=1,2,...,n . Chứng minh rằng : a1S−a1+1+a2S−a2+1+...+anS−an+1+(1−a1)(1−a2)...(1−an)≤1Với : S=a1+a2+...+an