Ta chỉ cần chứng minh \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} \ge \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}-3 \ge \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}-2\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2(ab+bc+ca)} \ge \frac{(c-a)^2}{(a+b)(b+c)}\Leftrightarrow \frac{(c-a)^2-(a-b)(b-c)}{ab+bc+ca} \ge \frac{(c-a)^2}{(a+b)(b+c)}\Leftrightarrow (b^2-ac)^2 \ge0 (luôn đúng)\Rightarrow đpcm , dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow a=b=c
Ta có biến đổi: VT=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{bc}+\frac{c^2}{ca}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} ( Bunhia.. phân thức)\rightarrow Ta chỉ cần chứng minh
\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} \ge \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}-3 \ge \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}-2\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2(ab+bc+ca)} \ge \frac{(c-a)^2}{(a+b)(b+c)}\Leftrightarrow \frac{(c-a)^2-(a-b)(b-c)}{ab+bc+ca} \ge \frac{(c-a)^2}{(a+b)(b+c)}\Leftrightarrow (b^2-ac)^2 \ge0 (luôn đúng)
\Rightarrow đpcm , dấu
"=" xảy ra
\Leftrightarrow a=b=c