Quay lại đáp án

Điều kiện của hệ là $x,y\geq -\frac{1}{3}$ và $xy\geq0$.Trường hợp $0\geq x,y\geq- \frac{1}{3}$. Khi đó có $\sqrt{3x+1}+\sqrt{3y+1}\leq 2<4$. Suy ra hệ vô nghiệm.Trường hợp $x,y\geq 0$. Vì $\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}$ nên $2(x+y)-\sqrt{xy}\geq \frac{3(x+y)}{2}$; suy ra $3\geq \frac{3(x+y)}{2}$, hay $x+y\leq2$ (1).Vì $\sqrt{3x+1}\leq \frac{3x+5}{4}$ và $\sqrt{3y+1}\leq \frac{3y+5}{4}$ nên $\sqrt{3x+1}+\sqrt{3y+1}\leq \frac{3(x+y)+10}{4}$; suy ra $4\leq \frac{3(x+y)+10}{4}$, hay $x+y\geq2$ (2).Từ (1) và (2) cho thấy $x=y=1$. Và dễ dàng kiểm tra $(x;y)=(1;1)$ thỏa mãn hệ.

Điều kiện của hệ là $x,y\geq -\frac{1}{3}$ và $xy\geq0$.Trường hợp $0\geq x,y\geq- \frac{1}{3}$. Khi đó có $\sqrt{3x+1}+\sqrt{3y+1}\leq 2<4$. Suy ra hệ vô nghiệm.Trường hợp $x,y\geq 0$. Vì $\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}$ nên $2(x+y)-\sqrt{xy}\geq \frac{3(x+y)}{2}$; suy ra $3\geq \frac{3(x+y)}{2}$, hay $x+y\leq2$ (1).Vì $\sqrt{3x+1}\leq \frac{3x+5}{4}$ và $\sqrt{3y+1}\leq \frac{3y+5}{4}$ nên $\sqrt{3x+1}+\sqrt{3y+1}\leq \frac{3(x+y)+10}{4}$; suy ra $4\leq \frac{3(x+y)+10}{4}$, hay $x+y\geq2$ (2).Từ (1) và (2) cho thấy $x=y=1$. Dễ dàng kiểm tra $(x;y)=(1;1)$ thỏa mãn hệ.Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất, đó là $(x;y)=(1;1)$. $\triangle$