$cotx+1-cos2x(1+\frac{1}{sinx})$$\Leftrightarrow \frac{sinx+cosx}{sinx}-(cosx-sinx)(sinx+cosx)(1+\frac{1}{sinx})$$\Leftrightarrow \frac{sinx+cosx}{sinx}(1-(cosx-sinx)(sinx+1))$$\Leftrightarrow \frac{sinx+cosx}{sinx}(1-cosx.sinx-cosx+sin^{2}x+sinx)=0$$\Leftrightarrow \frac{sinx+cosx}{sinx}(2-cosx-cos^2x+sinx(1-cosx))=0$$\Leftrightarrow \frac{sinx+cosx}{sinx}(1-cosx)(cosx+2+sinx)=0$
$cotx+1-cos2x(1+\frac{1}{sinx})
= 0$$\Leftrightarrow \frac{sinx+cosx}{sinx}-(cosx-sinx)(sinx+cosx)(1+\frac{1}{sinx})
= 0$$\Leftrightarrow \frac{sinx+cosx}{sinx}(1-(cosx-sinx)(sinx+1))
= 0$$\Leftrightarrow \frac{sinx+cosx}{sinx}(1-cosx.sinx-cosx+sin^{2}x+sinx)=0$$\Leftrightarrow \frac{sinx+cosx}{sinx}(2-cosx-cos^2x+sinx(1-cosx))=0$$\Leftrightarrow \frac{sinx+cosx}{sinx}(1-cosx)(cosx+2+sinx)=0$