Áp dụng công thức 2sinacosb=sin(b+a)−sin(b−a)Ta có 2sinx2=2sinx22sinx2cosx=sin3x2−sinx22sinx2cos2x=sin5x2−sin3x2⋯2sinx2cos(n−1)x=sin(2n−1)x2−sin(2n−3)x22sinx2cosnx=sin(2n+1)x2−sin(2n−1)x2 Cộng theo từng vế các đẳng thức này và rút gọn các hạng tử đồng dạng ta được2sinx2(1+cosx+cos2x+…+cosnx)=sin(2n+1)x2+sinx22sinx2(1+cosx+cos2x+…+cosnx)=2sin(2n+2)x4cos2nx4 $2\sin \dfrac{x}{2}\left (1+\cos x+\cos 2x+\ldots+\cos nx \right )=\sin \dfrac{(n+1)x}{2}\cos \dfrac{nx}{2}$ Từ đây có đpcm.
Áp dụng công thức
2sinacosb=sin(b+a)−sin(b−a)Ta có
2sinx2=2sinx22sinx2cosx=sin3x2−sinx22sinx2cos2x=sin5x2−sin3x2⋯2sinx2cos(n−1)x=sin(2n−1)x2−sin(2n−3)x22sinx2cosnx=sin(2n+1)x2−sin(2n−1)x2 Cộng theo từng vế các đẳng thức này và rút gọn các hạng tử đồng dạng ta được
2sinx2(1+cosx+cos2x+…+cosnx)=sin(2n+1)x2+sinx22sinx2(1+cosx+cos2x+…+cosnx)=2sin(2n+2)x4cos2nx4 sinx2(1+cosx+cos2x+…+cosnx)=sin(n+1)x2cosnx2 Từ đây có đpcm.