Simple!

Question

$\frac{1}{1+\sqrt{1+x}}+\frac{3x}{2(1+\sqrt{1+3x})}+\frac{1}{1+\sqrt{1+5x}}=\frac{2\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{4}$

Aerialace · Answer 1 · 8/14/2016 4:05:09 PM

Ta có

$\sqrt{1-x^2} \le 1$ ,

$\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x} \le \sqrt{2(1-x+1+x)}=2$

Từ đó suy ra

$VP \le 1$

Lại có

$VT \ge \frac{4}{2+\sqrt{x+1}+\sqrt{5x+1}}+\frac{3x}{2(\sqrt{3x+1}+1)}$

Dễ dàng chứng minh

$\sqrt{5x+1}+\sqrt{x+1} \le 2\sqrt{3x+1}$

Suy ra

$VT \ge \frac{3x+4}{2(1+\sqrt{3x+1})}$

Lại có

$3x+4 \ge 2(1+\sqrt{3x+1})$

(cm bằng cách biến đổi tương đương hoặc dùng bdt AM-GM)

Suy ra

$VT \ge 1 \ge VP$

Dấu bẳng xảy ra

$\Leftrightarrow x=0$ nên

$x=0$ là nghiệm duy nhất của pt

Sửa 14-08-16 04:05 PM

Aerialace
1

112K 41K

Trả lời 14-08-16 03:49 PM

Aerialace
1

112K 41K

1 Đáp án