1) Làm mẫu biểu thức $(2x+3)\sqrt{2x+3}$Giả sử như ta thêm bớt lượng liên hợp như sau
$\bigg[(2x+3)\sqrt{2x+3}-(ax+b) \bigg]+(ax+b)$
Ta chỉ quan tâm đến phần ngoặc vuông và nhiệm vụ là phải tìm ra $a,b$
Để có được nhân tử $(x+1)(x-3)$ thì khi thay $x=-1$ hoặc $ x=3$ thì $A=(2x+3)\sqrt{2x+3}-(ax+b)=0\Leftrightarrow (2x+3)\sqrt{2x+3}=ax+b \quad (*)$
Thế $x=-1,x=3$ vào $(*)$ ta thu đc hpt $\begin{cases}-a+b=1 \\ 3a+b=27 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=\frac{13}2 \\ b=\frac{15}2 \end{cases} (ok)$
Tương tự cho $(x+2)\sqrt{x+1}$ ta thu đc $a=b=\frac 52$
Vì vậy ta tách như sau
$pt\Leftrightarrow \bigg[(2x+3)\sqrt{2x+3}-\frac{13x+15}{2} \bigg]-\bigg[(x+2)\sqrt{x+1}-\frac{5x+5}{2} \bigg]=0$
$\Leftrightarrow (x+1)(x-3)\left[\frac{32x+29}{(2x+3)\sqrt{2x+3}+\dfrac{13x+15}{2}}-\frac{4x+3}{(x+2)\sqrt{x+1}+\dfrac{5x+5}{2}}\right]=0$
Cách khác:
$pt\Leftrightarrow \bigg(\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}-1 \bigg)\bigg(3x+4+\sqrt{(2x+3)(x+1)}+\sqrt{x+1} \bigg)=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{2x+3}=\sqrt{x+1}+1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-1\\ x=3 \end{array} \right.$