Gọi số dư của 7 số đã cho khi chia cho 4 lần lượt là $x_1,x_2...x_7 (0 \le x_i \le3 ,i=1,2,..6,7) $$-$Nếu trong 7 số dư đó có $ \ge $ 4 số bằng nhau $\Rightarrow$ dpcm
$-$Nếu có đúng 3 số bằng nhau, giả sử $x_1=x_2=x_3$:
Theo Dirichle thì trong 4 số còn lại nhận 3 giá trị nên có ít nhất 2 số bằng nhau
Giả sử $x_4=x_5(\ne x_1)$
$+$ Nếu $x_1,x_4$ cùng lẻ hoặc cùng chẵn $\Rightarrow$ dpcm vì $x_1+x_2+x_4+x_5 \vdots 4$
$+$ Nếu $x_1,x_4$ khác tính chẵn lẻ, giả sử $x_1$ lẻ $x_4 $ chẵn
*Nếu $x_6,x_7$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì $\Rightarrow$ dpcm vì $\left[ \begin{array}{l} x_1+x_2+x_6+x_7 \vdots 4\\ x_4+x_5+x_6+x_7 \vdots 4 \end{array} \right.$
*Nếu $x_6,x_7$ khác tính chẵn lẻ, giả sử $x_6$ chẵn $x_7$ lẻ thì ta có dpcm vì $x_1+x_7 \vdots 4$ (do $x_1,x_7$ là 2 số lẻ và $x_1\ne x_7), x_4+x_5 \vdots 4\Rightarrow x_1+x_4+x_5+x_7 \vdots 4$
$-$Trong trường hợp còn lại, theo nguyên lý Dirichlet thì $7$ số nhận $4$ giá trị nên tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau, giả sử $x_1=x_2$
$+5$ số còn lại nhận 3 giá trị nên cũng có ít nhất 2 số bằng nhau, giả sừ $x_3=x_4$
*$3$ số còn lại nhận $2$ giá trị nên tương tự giả sử $x_5=x_6$
Nên 4 số $x_1,x_3,x_5,x_7$ nhận 4 giá trị khác nhau từ $0\rightarrow 3$
Không mất tính tổng quát giả sừ $x_1 \le x_3 \le x_5 \le x_7$
$\Rightarrow x_1=0,x_3=1,x_5=2,x_7=3$
Ta có ngay dpcm vì $x_1+x_2+x_3+x_7 \vdots 4$