chứng tỏ (tiếp) ai giúp em với

Question

Chứng tỏ :

$A=10^{n}+18n-1$ chia hết cho

$27$ (với

$n$ là số tự nhiên).

Lionel Messi · Answer 1 · 4/19/2016 7:25:57 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

$10^n+18n-1$ chia hết cho 27 (*)
Với n=0 thì

$10^n+18n-1=1+0-1=0$ chia hết cho 27
Giả sử mệnh đề (*) đúng với n=k(k thuộc N,k≥0)
Tức là

$10^k+18k-1=27t$
Xét

$10^(k+1)+18(k+1)-1$

$=10^k+18k-1+9.10^k+18$

$=27t+9(10^k-1)+27(1)$
Mặt khác

$10^k-1$ chia hết cho

$10-1=9$

$=>10^k-1$ chia hết cho 3

$=>9(10^k-1)$ chia hết cho 27(2)
từ (1),(2)=> mệnh đề (*) đúng với

$n=k+1$
Vậy

$10^n+18n-1$ chia hết cho 27 với mọi n thuộc N

Trả lời 19-04-16 07:25 PM

Lionel Messi
1

169K 563K

Lionel Messi · Answer 2 · 4/19/2016 7:23:42 PM

Ta có:

$10^n + 18n - 1 = (10^n - 1) + 18n = 99...9 + 18n$ (số

$99...9$ có

$n$ chữ số

$9)$
=

$9(11...1 + 2n)$ (số

$11...1$ có

$n$ chữ số

$1) = 9.A$
Xét biểu thức trong ngoặc

$A = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n$ (số

$11...1$ có n chữ số

$1).$
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho

$3.$ Số

$11...1 (n$ chữ số

$1)$ có tổng các chữ số là

$1 + 1 + ... + 1 = n$ (vì có

$n$ chữ số

$1).$

$=> 11...1 (n$ chữ số 1) và

$n$ có cùng số dư trong phép chia cho

$3 => 11...1 (n$ chữ số

$1) - n$ chia hết cho

$3 => A$ chia hết cho

$3 => 9.A$ chia hết cho

$27$ hay

$10^n + 18n - 1$ chia hết cho

$27$ (đpcm)

♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓ · Answer 3 · 4/19/2016 6:11:12 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

xét n=3k

10^n chia 27 dư 1 nên 10^n-1 chia hết cho 27

18n=54k chia hết cho 27

Xét n=3k+1

10^n chia 27 dư 10

18n=54k+18

10^n +18 n chia 27 sẽ dư 1

10^n+18n-1 chia hết cho 27

Xét n=3k+2

10^n chia 27 dư 19

18n=54k+36 chia 27 dư 9

10^n+18n chia 27 dư 1

10^n+18n-1 chia hết 27

Trả lời 19-04-16 06:11 PM

♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
1

19K 39K

Hỏi	19-04-16 04:11 PM
Lượt xem	1458
Hoạt động	19-04-16 07:25 PM

chứng tỏ (tiếp) ai giúp em với

3 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

chứng tỏ (tiếp) ai giúp em với

3 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan