Điều kiện của hệ $x,y,z\neq 0$. Từ hệ đã cho suy ra: $(x-y)=\frac{1}{3}(y-z)(1-\frac{1}{yz})$,
$(y-z)=\frac{1}{3}(z-x)(1-\frac{1}{zx})$,
$(z-x)=\frac{1}{3}(x-y)(1-\frac{1}{xy})$.
Suy ra: $(x-y)(y-z)(z-x)[1-\frac{1}{27}(1-\frac{1}{xy})(1-\frac{1}{yz})(1-\frac{1}{zx})]=0$ (*).
Từ hệ đã cho suy ra $x,y,z$ cùng dương hoặc cùng âm. Tư đó $|x|,|y|,|z|\geq \frac{2}{3}$ và $xy,yz,zx>0$.
Suy ra $-\frac{5}{4}\leq 1-\frac{1}{xy}<1$ và $-\frac{5}{4}\leq 1-\frac{1}{yz}<1$ và $-\frac{5}{4}\leq 1-\frac{1}{zx}<1$.
Suy ra $|(1-\frac{1}{xy})(1-\frac{1}{yz})(1-\frac{1}{zx})|\leq \frac{125}{64}$.
Suy ra $1-\frac{1}{27}(1-\frac{1}{xy})(1-\frac{1}{yz})(1-\frac{1}{zx}) \geq 1- \frac{1}{27}|(1-\frac{1}{xy})(1-\frac{1}{yz})(1-\frac{1}{zx})|$
$\geq 1-\frac{1}{27}.\frac{125}{64}>0$.
Do đó (*) $\Leftrightarrow (x-y)(y-z)(z-x)=0$.