với $a.b.c\neq 0$ tđb ta có:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\Leftrightarrow (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+(\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c})=0$
$\Leftrightarrow (a+b)[\frac{1}{ab}+\frac{1}{c(a+b+c)}]=0$
$\Leftrightarrow (a+b).\frac{ac+bc+ca+c^{2}}{abc(a+b+c)}=0$
$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a).\frac{1}{abc(a+b+c)}=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} a+b=0\Rightarrow c=2000\\ \begin{matrix} b+c=0\Rightarrow a=2000\\ c+a=0\Rightarrow b=2000 \end{matrix} \end{matrix}} \right.$
từ đó ta được đpcm.