Hệ phương trình cơ bản không hoàn toàn loại 2

Question

Giải hệ phương trình:

$\begin{cases}\frac{\sqrt{(2-x)(x^2-y^2)-4y(1-y)}}{\sqrt{2x+2y-4}+x-y}=\sqrt{x} \\ x^3-2y^2+8x-7=(4y+1)\sqrt[3]{3x^2-8y+5} \end{cases}$

score 3 · Answer 1

ĐKXĐ:

$x+y\geq 2,x\geq 0$ và ...
PT(1)

$\Leftrightarrow \sqrt{x}(x-y)+\left[ {\sqrt{2x^2+2xy-4x}-\sqrt{(2-x)(x^2-y^2)-4y(1-y)}} \right]=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x}(x-y)+\frac{(2x^2+2xy-4x)-(2-x)(x^2-y^2)+4y(1-y)}{\sqrt{2x^2+2xy-4x}+\sqrt{(2-x)(x^2-y^2)-4y(1-y)}}=0$

$\Leftrightarrow (x-y)\left ( \sqrt{x}+\frac{x^2+xy+2y-4}{\sqrt{2x^2+2xy-4x}+\sqrt{(2-x)(x^2-y^2)-4y(1-y)}} \right )=0$
Do ĐKXĐ:

$\begin{cases}x+y\geq 2\Rightarrow y\geq 2-x \\ x\geq 0 \end{cases}\Rightarrow xy\geq 2x-x^2$
nên

$x^2+xy+2y-4\geq x^2+2x-x^2+2y-4=2(x+y-2)\geq 0$
Suy ra (...) thứ 2 luôn dương. Suy ra x=y. Thay PT(2)

$x^3-2x^2+8x-7=(4x+1)\sqrt[3]{3x^2-8x+5}$

$\Leftrightarrow (x^3-6x^2+11x-6)+(4x+1)(x-1-\sqrt[3]{3x^2-8x+5})=0$

$\Leftrightarrow (x^3-6x^2+11x-6)\left ( 1+\frac{4x+1}{(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x^2-8x+5}+(\sqrt[3]{3x^2-8x+5})^2} \right )=0$

$\Leftrightarrow x^3-6x^2+11x-6=0$ (ngoặc thứ 2 luôn dương với

$x \geq 0$ )

$\Leftrightarrow$ x=1;2;3 (loại x=1 do mẫu số ở pt1 =0)
Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y)=(2;2),(3;3)

score 3 · Answer 2

Giải Pt(2) một cách tổng quát nhất với dạng

$f^n(x)+b(x)=a(x)\sqrt[n]{a(x).f(x)-b(x)}$

Kĩ thuật để tìm ra

$f(x);b(x);a(x)$ anh sẽ HD em thông qua FB

Pt(2)

$\Leftrightarrow (x-1)^3+x^2+5x-6=(4x+1)\sqrt[3]{(x-1)(4x+1)-(x^2+5x-6)}$

Đặt

$\begin{cases}a=x-1 \\ b=\sqrt[3]{(x-1)(4x+1)-(x^2+5x-6)} \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}a^3=(4x+1)b-(x^2+5x-6) \\ b^3=(4x+1)a-(x^2+5x-6) \end{cases}$

$\Rightarrow a^3-b^3+(a-b)(4x+1)=0\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2+4x+1)=0$

$\Leftrightarrow (a-b)[(b+\frac{a}{2})^2+\frac{3}{4}a^2+4x+1]=0$

$\Leftrightarrow (a-b)[(b+\frac{a}{2})^2+\frac{3x^2+10x+7}{4}]=0$

$\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow x-1=\sqrt[3]{3x^2-8x+5}\Leftrightarrow (x-1)(x-2)(x-3)=0$

2 Đáp án