ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG - NĂM 2015-2016
Môn Toán - Khối 10
Thời gian : 180 phút
Bài 1(2đ) : Xét tính đơn điệu của hàm số : $y=x+\frac{1}{x}$ trên $(1;+\infty)$Bài 2 (2đ): Chứng minh $\sqrt{2}$ là số vô tỉ
Bài 3 (4đ): Cho hệ phương trình : $\begin{cases}ax+y=3 \\ |x+1|+y=2 \end{cases}$
a) Giải hệ với $a=2$
b) Tìm tất cả giá trị của $a$ để hệ có nghiệm duy nhất
Bài 4(2đ) : Tìm $a$ để phương trình sau có đúng 1 nghiệm :
$1+\frac{5a-3}{x-a}=\frac{5(2a+1)(1-a)}{(x-a)(x-3a+1)}$
Bài 5 (2đ) : Giải phương trình : $\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{3-x}}=x-\frac{1}{2}$
Bài 6 : Trong mặt phẳng $(Oxy)$ cho điểm $A(2;1),B(-2;3)$
a) Tìm điểm $M$ thuộc trục $Ox$ sao cho $|\vec{MA}+\vec{MB}|$ nhỏ nhất.
b) Tìm điểm $N$ thuộc trục $Ox$ sao cho $| \vec{NA}-\vec{NB}|$ lớn nhất.
Bài 7 (4đ) : Cho $\triangle ABC$ và đường tròn $O$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $E$ sao cho $BE=2AE$. Gọi $F$ là trung điểm của $AC,I$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $AEIF$. Với mỗi điểm $P$ trên đường tròn $(O)$ dựng điểm $Q$ sao cho $\vec{PA}+2\vec{PB}+3\vec{PC}=6\vec{IQ}$
a)$\vec{KA}+2\vec{KB}+3\vec{KC}= \vec{0}$
b) Chứng minh $Q$ thuộc một đường tròn cố định.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~HẾT~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~