Điều kiện: $x \ge -\frac{1}{16112}.$Đặt $\sqrt{1+16112x}=2y-1, y \ge \frac{1}{2},$ ta được:
$\begin{cases}x^2-x-4028y=0 \\ y^2-y-4028x=0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x^2-x-4028y=0 \\ (x^2-y^2)-(x-y)+4028(x-y)=0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x^2-x-4028y=0 \\ (x-y)\underbrace{(x+y+4027)}_{>0,\forall x \ge -\frac{1}{16112};y \ge \frac{1}{2}}=0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x=y \\ x^2-4029x=0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=y=0 \text{ (loại)}\\ x=y=4029 \end{array} \right.$
KL: Nghiệm của PT đã cho là: $\color{red}{\boxed{x=4029}.}$