a)Xét
ΔAEM có
Eˆ=90∘, có EI là trung tuyến nên
EI=AI=MI.
Do đó
ΔAIE cân tại I
⇒EIMˆ=2IAEˆChứng minh tương tự có
DIMˆ=2IADˆ⇒EIMˆ+MIDˆ=2(EAIˆ+IADˆ)Hay
EIDˆ=2EADˆ=2.30∘=60∘Lại có
EI=DI=12AM⇒ΔEID cân tại I. Mà
EIDˆ=60∘⇒ΔEID đều.
Chứng minh tương tự có:
ΔFID đều.
Do đó:
EI=IF=FD=DE⇒ tứ giác IFDE là hình thoi
b)Gọi N là trung điểm của AH.
Có
ΔABC đều nên H là trực tâm cũng là trọng tâm
ΔABC⇒AN=NH=HD/
Có IN là đường trung bình
ΔAMH nên IN//MH(1).
Có KH là đường trung bình
ΔIND nên KH//IN(2).
Từ (1) và (2) suy ra: MK trùng KH(3)
Mà tứ giác IFDE là hình thoi nên
ID∩EF=K.Hay
MK,ID,EF đồng quy tại K(4)
Từ (3) và (4) suy ra:
MH,ID,EF đồng quy tại K