Đặt $A=\frac{x^{2}+ 6x +1}{x^{2}+1}$$\Rightarrow Ax^{2} + A = x^{2} + 6x +1$
$\Rightarrow (A-1)x^{2} - 6x +(A-1) = 0$
$\Delta = 36 - 4(A - 1)^{2} = -4A^{2} + 8A + 32$
$ \Delta \geq 0 \Rightarrow -4A^{2} + 8A + 32 \geq 0$
Giải bất phương trình ta được $-2 \leq A \leq 4$
Vậy: GTLN là $4$ khi $ x = 1$
GTNN là $ -2$ khi $x= -1$