GGGGGGGGGG

Question

Bài 2: cho các số thực dương

$x ,y, z$ thỏa mãn

$x+y+z=$

$\frac{3}{2}$ . Tìm GTNN của biểu thức

$P=$

$\frac{\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}}{1+4xy}+$

$\frac{\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}}{1+4yz}+$

$\frac{\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}}{1+4zx}$

score 2 · Answer 1

Có

$\sqrt{x^2+xy+y^2}=\sqrt{\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)$

Tương tự ta có:

$VT\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{x+y}{1+4xy}+\frac{y+z}{1+4yz}+\frac{x+z}{1+4xz})$

Xét

$P=\frac{x+y}{1+4xy}+\frac{y+z}{1+4yz}+\frac{x+z}{1+4xz}$

Ta sẽ CM

$P\geq \frac{3}{2}$ với đk

$x+y+z=\frac{3}{2}$

Quy đồng lên:

$64xyz(xy+yz+xz)+8\sum xy(x+y)-24xyz+3\geq 192(xyz)^2+12(xy+yz+xz)$

Đặt

$xy+yz+xz=q,r=xyz,x+y+z=p$

Ta viết lại BĐT cần chứng minh dưới dạng:

$64qr+8(pq-3r)-24r+3\geq 192r^2+12q$ (*)(chú ý

$p=\frac{3}{2}$ )

Ta có

$pq\geq 9r$ nên

$q\geq6r$

Thu gọn (*) với đk

$p$ ta cần chứng minh:

$64qr-48r+3-192r^2\geq0$

Áp dụng BĐT phụ đã nêu trên thay vào thì đpcm tương đương:

$(8r-1)^2\geq0$ (luôn đúng)

Kết thúc CM dấu bằng đạt đc tại tâm

giỏi nó ms thê bạn – Wade 20-01-15 11:06 PM

tự hỏi tự trả lời kì thật – thuhuong1607hhpt 20-01-15 10:31 PM

bạn a nên thê đó e thông cảm haha – Wade 18-01-15 07:49 PM

cái này gọi là tự sướng anh Thành ạ – ๖ۣۜDevilღ 18-01-15 07:43 PM

tâm bệnh rồi tự đăng tự trả lời :)) – Wade 18-01-15 07:29 PM

bữa làm đến dòng xét P xong chả biết làm sao nữa,hại não vcl :3 – ๖ۣۜDevilღ 18-01-15 07:23 PM

1 Đáp án