Cực trị

Question

cho $a, b >0$ thoả mãn $a^{2} + b^{2} =1$.

Tìm $S=(2+a)(1+\frac{1}{b})+(2+b)(1+\frac{1}{a})$ min

score 1 · Answer 1

Có S=$4+a+b+\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

Có $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq2$(BĐT cosi)

$S\geq \frac{2}{b}+4b-3b+\frac{2}{a}+4a-3a+6$

Mà $\frac{2}{b}+4b\geq4\sqrt{2},\frac{2}{a}+4a\geq4\sqrt{2}$

$\Rightarrow S\geq 8\sqrt{2}+6-3(a+b)$

Lại có $(a+b)\leq \sqrt{2(a^2+b^2)}\leq \sqrt{2}\Leftrightarrow-3(a+b)\geq-3\sqrt{2}$

Từ đó $Min S=6+5\sqrt{2}$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$

score 1 · Answer 2

Có S=

4+a+b+2a+2b+ab+ba

Có

ab+ba≥2(BĐT cosi)

S≥2b+4b−3b+2a+4a−3a+6

Mà

2b+4b≥42√,2a+4a≥42√

⇒S≥82√+6−3(a+b)

Lại có

(a+b)≤2(a2+b2)−−−−−−−−√≤2√⇔−3(a+b)≥−32√

Từ đó

MinS=6+52√ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

a=b=12√

score 1 · Answer 3

Có S=$4+a+b+\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

Có $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq2$(BĐT cosi)

$S\geq \frac{2}{b}+4b-3b+\frac{2}{a}+4a-3a+6$

Mà $\frac{2}{b}+4b\geq4\sqrt{2},\frac{2}{a}+4a\geq4\sqrt{2}$

$\Rightarrow S\geq 8\sqrt{2}+6-3(a+b)$

Lại có $(a+b)\leq \sqrt{2(a^2+b^2)}\leq \sqrt{2}\Leftrightarrow-3(a+b)\geq-3\sqrt{2}$

Từ đó $Min S=6+5\sqrt{2}$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$

score 0 · Answer 4

Ta có: $1=a^2+b^2\ge2ab \Rightarrow ab\le\dfrac{1}{2}$.

$S=4+a+b+\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$

$=4+a+\dfrac{1}{2a}+b+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{3}{2a}+\dfrac{3}{2b}$

$\ge4+2\sqrt{a.\dfrac{1}{2a}}+2\sqrt{b.\dfrac{1}{2b}}+2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}+2\sqrt{\dfrac{3}{2a}.\dfrac{3}{2b}}$

$=4+\dfrac{2}{\sqrt2}+\dfrac{2}{\sqrt2}+2+\dfrac{3}{\sqrt{ab}}$

$\ge6+2\sqrt2+\dfrac{3}{\sqrt{\dfrac{1}{2}}}=6+5\sqrt2$

$\min S=6+5\sqrt2 \Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{\sqrt2}$

4 Đáp án