đề thi hsg(4)

Question

1, Cho hệ phương trình:

$ax+by=c$
và

$bx+cy=a$
và

$cx+ay=b$
(

$a,b,c$ là tham số)
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hệ phương trình trên có nghiệm là:

$a^3+b^3+c^3=3abc$

2, Cho

$x>0,y>0$ và

$x+y=1$ . CMR:

$8(x^4+y^4)+\frac{1}{xy}\geq5$

3,Giải hệ phương trình:

$x^2+\frac{1}{y^2}+\frac{x}{y}=3$
và

$x+\frac{1}{y}+\frac{x}{y}=3$

4, Giải phương trình:

$\sqrt{25-x^2}-\sqrt{10-x^2}=3$

score 2 · Answer 1

Giả sử HPT đã cho có nghiệm

$(x;y)$ . Khi đó

$a^3+b^3+c^3=a.a^2+b.b^2+c.c^2$

$=(bx+cy)a^2+(cx+ay)b^2+(ax+by)c^2=(a^2bx+ab^2y)+(ac^2x+ca^2y)+(b^2cx+bc^2y)$

$=ab(ax+by)+ca(cx+ay)+bc(bx+cy)=abc+cab+bca=3abc$

Giả sử

$a^3+b^3+c^3=3abc$

$\Leftrightarrow (a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc=0$

$\Leftrightarrow (a+b+c)\left[ {(a+b)^2-c(a+b)+c^2} \right]-3ab(a+b+c)=0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}(a+b+c)\left[ {(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2} \right]=0$

$\left[ {} \right.\begin{matrix} a+b+c=0\\ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} a+b+c=0\\ a=b=c \end{matrix}} \right.$

$* a+b+c=0$ nhân thấy HPT có nghiệm

$x=y=-1$

$*a=b=c,$ nhận thấy HPT có nghiệm

$x=0,y=1$ ( hoặc

$x=1,y=0$ )

Vậy nếu

$a^3+b^3+c^3=3abc$ thì HPT đã cho có nghiệm

score 2 · Answer 2

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

Đk:

$-\sqrt{10}\leq x\leq\sqrt{10}$

$PT \Leftrightarrow (\sqrt{25-x^{2}}-4)-(\sqrt{10-x^{2}}-1)=0$

$\Leftrightarrow \frac{9-x^{2}}{\sqrt{25-x^{2}}+4}-\frac{9-x^{2}}{\sqrt{10-x^{2}}+1}=0$

$\Leftrightarrow (9-x^{2})(\frac{1}{\sqrt{25-x^{2}}+4}-\frac{1}{\sqrt{10-x^{2}}+1})=0$

Với

$x^{2}=9$ ta dc

$x=\pm3$

Với phương trình 2 ta dc

$\sqrt{10-x^{2}}-\sqrt{25-x^{2}}=3$

Kết hợp vs đề bài ta đc 1 hpt hệ này vn

Hỏi	26-08-14 01:00 PM
Lượt xem	1092
Hoạt động	26-08-14 09:48 PM

đề thi hsg(4)

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

đề thi hsg(4)

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan