lâu ròi ko lên, đăng bài thử thách mấy thánh

Question

Tìm tất cả các số nguyên $a,b,n>1$ thỏa mãn điều kiện: $(a^3+b^3)^n=4(ab)^{1995}$

score 3 · Answer 1

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Đây là bài 3 trong đề thi chọn đội tuyển Việt Nam dự thi Olympic Toán quốc tế năm 1995.

Lời giải như sau:

sao cách của e lại vô nghiệm nhỉ – Tonny_Mon_97 20-08-14 08:28 PM

score 2 · Answer 2

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

Đây là cách e tìm thấy nhưng sao ko giống của a khangnguyenkhanh

Từ $(1)\Rightarrow a^3+b^3$ chẵn $\Rightarrow a,b$ cùng dấu.
Đặt $a=2^px_p; b=2^qy_p$ (với $p,q\geq 0;x_p,y_p$ lẻ)
$(*)$ Xét $p=q=0\Rightarrow a,b$ lẻ
+, Nếu $n>2$ $\Rightarrow 8\mid (a^3+b^3)^n$ mà $8\nmid 4(ab)^{1995}$
$\Rightarrow$ Trường hợp này không xảy ra.
+, Nếu $n=2\Rightarrow (a^3+b^3)^2=4(ab)^{1995}$
$\Leftrightarrow a^6+b^6=2(ab)^3[2(ab)^{1992}-1]$ $2(ab)^{1992}-1\mid a^6+b^6$ mà $a^6+b^6>0$
$\Rightarrow a^6+b^6\geq 2(ab)^{1992}-1$ $\Leftrightarrow \displaystyle{\frac{1}{a^6}+\frac{1}{b^6}+\frac{1}{a^6b^6}\geq 2(ab)^{1986}}$ (vô lí vì $a,b>1$ )
$(*)$ Xét $p,q>0\Rightarrow a,b$ chẵn
Ta có: $(1)\Leftrightarrow [(2^px_p)^3+(2^qy_p)^3]^n=4(2^{p+q}x_py_p)^{1995}$
$\Leftrightarrow [(2^{p-1}x_p)^3+(x^{q-1}y_p)^3]^n=2^{1995(p+q)+2+3n}.(x_py_p)^{1995}$
$\Leftrightarrow .......$
$\Leftrightarrow [(2^{p-k}x_p)^3+(2^{q-k}y_p)^3]^n=2^{1995(p+q)+2+3n.2^{k-1}}.(x_py_p)^{1995}$ (với $k\in \mathbb{Z^+},k\leq p,q$ )
Xét $p\neq q$ , vì vai trò như nhau, giả sử $p>q$ . Nếu $q=k\Rightarrow VT$ lẻ mà $VP$ chẵn.
$\Rightarrow$ Trường hợp này không xảy ra $p=q$
$\Rightarrow [(2^{p-1})^3(x^3_p+y^3_p)]^n=2^{3990p+2+3n}.(x_py_p)^{1995}$
$\Leftrightarrow (x^3_p+y^3_p)^n=2^{3990p+2+6n-3np}.(x_py_p)^{1995}$
Vì $x_p,y_p$ lẻ $\Rightarrow (x^3_p+y^3_p)^n$ chẵn
Đặt $(x^3_p+y^3_p)^n=2^nl$ ( $l$ lẻ, $l\in \mathbb{Z^+}$ )
Ta có: $2^nl=2^{3990p+2+6n-3np}.(x_py_p)^{1995}$
$\Leftrightarrow l=2^{3990p+2+5n-3np}.(x_py_p)^{1995}$ mà $(x_py_p)^1995$ lẻ
$\Rightarrow 2^{3990p+2+5n-3np}=1$ $\Leftrightarrow 3990p+2+5n-3np=0$
$\Leftrightarrow (3p-5)(n-1330)=6652$
Vì $p,n\in \mathbb{Z^+} \Rightarrow 3p-5;n-1330\in \mathbb{Z} \qquad (2)$
Từ $(1),n>1\Rightarrow 4(ab)^{1995}=(a^3+b^3)^n\geq 2^n(ab)^{\frac{3}{2}}$ $\geq 4ab^{\frac{3n}{2}}$
$\displaystyle{\Rightarrow \frac{3n}{2}\leq 1995}$ $\Leftrightarrow n\leq 1330$
• Xét $=1\Rightarrow n-1330=-3326$ $\Leftrightarrow n<0$ (vô lí)
• Xét $p\geq 2\Rightarrow 3p-5>0 \qquad (3)$
Từ $(2),(3),6652=2^2.1663\Rightarrow$ Ta có các trường hợp sau:
-Nếu $3p-5=1,n-1330=6652\Rightarrow p=2,n=7982$ (loại)
-Nếu $3p-5=2,n-1330=3326\Rightarrow \displaystyle{p=\frac{7}{3}},n=4656$ (loại)
-Nếu $3p-5=4,n-1330=1663\Rightarrow p=3,n=2993$ (loại)
-Nếu $3p-5=1663,n-1330=4\Rightarrow p=556,n=1334$ (loại)
-Nếu $3p-5=3326,n-1330=2\Rightarrow \displaystyle{p=\frac{3331}{3}},n=1332$ (loại)
-Nếu $3p-5=6652,n-1330=1\Rightarrow p=2219,n=1331$ (loại)
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên $(a,b,n)>1$

umk , cảm ơn a – Tonny_Mon_97 20-08-14 08:48 PM

Lời giải này sai từ dòng thứ 11. Ở VP phải là -3n chứ không phải 3n vì ta chia cả 2 vế cho 2^{3n} – khangnguyenthanh 20-08-14 08:42 PM

Hỏi	20-08-14 05:18 PM
Lượt xem	1194
Hoạt động	22-08-14 08:57 AM

lâu ròi ko lên, đăng bài thử thách mấy thánh

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

lâu ròi ko lên, đăng bài thử thách mấy thánh

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan