Tới đó làm như sau
$-4m=2x^2 -2x-3 +\dfrac{3}{2x^2 -2x+1}$ đặt $2x^2-2x+1=t$, ta có $t=2x^2-2x=1 = 2(x-\dfrac{1}{2})^2 +\dfrac{1}{2} \ge \dfrac{1}{2} $
Pt $ \Leftrightarrow -4m=t+\dfrac{3}{t}-4 =\dfrac{t^2-4t+3}{t} \ (*);\ t\ge \dfrac{1}{2}$
Xét $f(t)=\dfrac{t^2-4t+3}{t}; \ f'(t)=\dfrac{t^2-3}{t^2};\ f'(t)=0 \Leftrightarrow t=\pm \sqrt 3$
Bảng biến thiên
Số nghiệm của hệ là số nghiệm của pt $(*)$ hay cũng là số giao điểm của 2 đồ thì $y=-4m$ và $y=f(t)=\dfrac{t^2-4t+3}{t}$
Từ BBT ta thấy $(*)$ có nghiệm khi chỉ khi $-4m \ge 2\sqrt 3 -4 \Leftrightarrow m \le 1-\dfrac{\sqrt 3}{2}$