1. Trước hết nêu ra một đẳng thức sau : Với mọi biểu thức $A_1,A_2,A_3,A_4$ ta có
$A_1A_2A_3A_4-1=A_1A_2A_3(A_4-1)+A_1A_2(A_3-1)+A_1(A_2-1)+(A_1-1)$
Để chứng minh điều này bạn chỉ cần khai triển và rút gọn vế phải.
Bây giờ đặt $A_1=1+x, A_2=1+2x,A_3=1+3x,A_4=1+4x$. Ta có
$L= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\dfrac{(1+x)(1+2x)(1+3x)(1+4x) -1 }{x}= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\dfrac{A_1A_2A_3A_4-1 }{x}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\left (A_1A_2A_3.\dfrac{A_4-1 }{x} \right )+ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\left (A_1A_2.\dfrac{A_3-1 }{x} \right )+ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\left (A_1.\dfrac{A_2-1 }{x} \right )+ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\left (\dfrac{A_1-1 }{x} \right )$
Chú ý rằng $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}A_1=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}A_2=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}A_3=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}A_4=1$
và $ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\left (\dfrac{A_1-1 }{x} \right )=1, \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\left (\dfrac{A_2-1 }{x} \right )=2, \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\left (\dfrac{A_3-1 }{x} \right )=3, \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\left (\dfrac{A_4-1 }{x} \right )=4$.
Vậy $L=4+3+2+1=10.$
$\textbf{Chú ý} :$ Bài toán trên còn được tổng quát cho $n$ số.