Giả sử tam giác MNP có M thuộc BC; N thuộc AB; P thuộc AC.

Với điểm M cho trước gọi E,F lần lượt là các điểm đối xứng  với M qua AB và AC.

Thì : MN=ME;

         MP=PF

⇒PMNP=EN+NP+PF≥EF

Vậy ta cần tìm vị trí của M để EF có độ dài nhỏ nhất.

Lại có theo tính chất đối xứng thì

        AE=AF (cung bằng AM)

        MACˆ=CAFˆ 

        EABˆ=BAMˆ

⇒EAFˆ=2BACˆ (Không đổi)

Tam giác EAF cân ở A có góc EAF không đổi nên EFmin⇔AEmin⇔AMmin

Kẻ AH vuông góc BC thì AM≥AH nên Min AM=AH khi M trùng H khi EF cắt AB,AC tại N,P. Ta dễ dàng chứng minh được N,P là chân đường cao hạ từ B,C đến AB,AC.

Vậy chu vi AMP nhỏ nhất khi có 3 điểm M,N,P là chân 3 đường cao.