kho` qua

Question

$\int\limits_{0}^{\pi /2}ln\frac{(1+sinx)^{1+cosx}}{1+cosx}dx$

score 4 · Answer 1

Ta có

$I = \int\limits_0^{\pi /2} {\left[ {\left( {1 + \cos x} \right).\ln \left( {1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right) - \ln \left( {1 + \cos x} \right)} \right]} dx$

$= \int\limits_0^{\pi /2} {\cos x\ln \left( {1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)dx + } \int\limits_0^{\pi /2} {\ln \left( {1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)dx - } \int\limits_0^{\pi /2} {\ln \left( {1 + \cos x} \right)dx}$
Đặt

$t = \frac{\pi }{2} - x$

$\Rightarrow \int\limits_0^{\pi /2} {\ln \left( {1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)dx= \int\limits_{\pi /2}^0 { - \ln \left( {1 + \cos t} \right)dt= }}\int\limits_0^{\pi /2} {\ln \left( {1 + \cos t} \right)dt )\\ \Rightarrow I = \int\limits_0^{\pi /2} {\cos x.\ln \left( {1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)dx} } \\ = \int\limits_0^{\pi /2} {\ln \left( {1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)d(1+\sin x)}$
Đặt

$t$ =

$\left( {1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)$ thì

$I = \int\limits_1^2 {\ln t dt =(t\ln t-t)|^{2}_{1}= 2\ln 2 - 1}$ , (áp dụng tích phân từng phần).

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Các bài tiếp theo mình sẽ sẵn sàng giúp đỡ bạn.

Hỏi	06-02-14 11:16 PM
Lượt xem	1153
Hoạt động	06-02-14 11:27 PM

kho` qua

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

kho` qua

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan