|
Ta có \(I = \int\limits_0^{\pi /2} {\left[ {\left( {1 + \cos x}
\right).\ln \left( {1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right) -
\ln \left( {1 + \cos x} \right)} \right]} dx\) \( =
\int\limits_0^{\pi /2} {\cos x\ln \left( {1 + {\mathop{\rm s}\nolimits}
{\rm{inx}}} \right)dx + } \int\limits_0^{\pi /2} {\ln \left( {1 +
{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)dx - } \int\limits_0^{\pi
/2} {\ln \left( {1 + \cos x} \right)dx} \) Đặt \(t = \frac{\pi }{2} - x \) $\Rightarrow
\int\limits_0^{\pi /2} {\ln \left( {1 + {\mathop{\rm s}\nolimits}
{\rm{inx}}} \right)dx= \int\limits_{\pi /2}^0 { - \ln \left( {1 + \cos
t} \right)dt= }}\int\limits_0^{\pi /2} {\ln \left( {1 + \cos t}
\right)dt )\\ \Rightarrow I = \int\limits_0^{\pi /2} {\cos x.\ln \left( {1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)dx} } \\ =
\int\limits_0^{\pi /2} {\ln \left( {1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)d(1+\sin x)} $
Đặt $t$ = \(\left( {1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)\)
thì \(I = \int\limits_1^2 {\ln t dt =(t\ln t-t)|^{2}_{1}= 2\ln 2 - 1}
\) , (áp dụng tích phân từng phần).
|