$A = 1 - \frac{3}{4} + (\frac{3}{4})^2 - (\frac{3}{4})^3 + (\frac{3}{4})^4- ... - (\frac{3}{4})^{2009} + (\frac{3}{4})^{2010}$
Suy ra
$-\frac{3}{4}A = - \frac{3}{4} + (\frac{3}{4})^2 - (\frac{3}{4})^3 + (\frac{3}{4})^4- ... - (\frac{3}{4})^{2009} + (\frac{3}{4})^{2010} - (\frac{3}{4})^{2011}$.
Trừ theo từng vế của hai đẳng thức này ta được
$A -\left ( -\frac{3}{4}A = \right ) = 1+(\frac{3}{4})^{2011}$
$\Rightarrow \frac{7}{4}A=1+(\frac{3}{4})^{2011}$
$\Rightarrow A=\frac{4^{2011}+3^{2011}}{7.4^{2010}}$.
Nhận thấy $4^{2011}+3^{2011}$ là số lẻ mà $4^{2010}$ chẵn nên $A \notin \mathbb Z.$