Tích phân

Question

Phương pháp đổi biến số

1, $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin2x(1+\sin^2x)^3dx$

2, $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\cos^4x}dx$

3, $\int\limits_{1}^{e}\frac{\sqrt{1+\ln x}}{x}dx$

4, $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\cos x}dx$

score 3 · Answer 1

3.

Đặt: $t=1+\ln x \Rightarrow dt=\dfrac{dx}{x}$

Đổi cận: $x=1 \Rightarrow t=1$

$x=e \Rightarrow t=2$

Khi đó:

$\int\limits_1^e \dfrac{\sqrt{1+\ln x}}{x}dx$

$=\int\limits_1^2\sqrt tdt$

$=\dfrac{2t\sqrt t}{3}\left|\begin{array}{l}2\\1\end{array}\right.=\dfrac{4\sqrt2-2}{3}$

phuocthang95 · Answer 2 · 11/19/2013 11:04:22 PM

Mình hướng dẫn cách làm còn lại bạn tự chạy cận và biến đổi nhé!

$1/ Đặt t=1+sin^{2}x => dt=2cosxsin dx=sin2x dx $

$=> 1=\int\limits_{0}^{\pi/2}t^{3}dt=\frac{1}{4}t^{4}$

$2/ Ta có \frac{1}{cos^{4}x}=\frac{1}{cos^{2}x.cos^{2}x}=\frac{1}{cos^{2}x}.(1-tan^{2}x)$

Thế vào sau đó đặt $t=tanx=>dx=\frac{1}{cos^{2}x}dx$

$=>2=\int\limits_{0}^{\pi /4}(1-t^{2})dx=\int\limits dx-\int\limits t^{2}dx$

3/ Đặt $t=\sqrt{1+lnx}=>t^{2}=1+lnx=>dt=\frac{1}{x}dx$

$=>\int\limits tdt=\frac{1}{2}t^2$

4/ $\frac{1}{cosx}=\frac{cosx}{cos^{2}x}=\frac{cosx}{(1-sin^{2}x)}$ thế vào:

Đặt: $t=sinx=>dt=cosxdx$

$=> 4=\int\limits\frac{1}{(1-t^{2})}dt=\frac{1}{(1-t)(1+t)}dt=-\frac{1}{2}ln\frac{|t-1|}{|t+1|}$

Trả lời 19-11-13 11:04 PM

phuocthang95
1

6K 8K

à mình xin lỗi nhé, dấu chứ không phải dấu trừ, mình nhớ lộn. – phuocthang95 23-11-13 08:29 PM

Cách bạn đúng rồi nhưng hình như có 1 chỗ nhầm thì phải $\frac{1}{\cos^2x}=1 \tan^2x$ không phải bằng $1-\tan^2x$ – hanhphucnhe989 22-11-13 09:59 PM

score 3 · Answer 3

1.

Đặt $t=1+\sin^2x\Rightarrow dt=2\sin x\cos xdx=\sin2xdx$

Đổi cận: $x=0 \Rightarrow t=1$

$x=1 \Rightarrow t=2$

Khi đó:

$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sin2x(1+\sin^2x)^3dx$

$=\int\limits_1^2t^3dt$

$=\dfrac{t^4}{4}\left|\begin{array}{l}2\\1\end{array}\right.=\dfrac{15}{4}$

3 Đáp án