$1.$ Để chứng minh $f(x)$ là toàn ánh ta sẽ chứng minh $f$ là đơn ánh và toàn ánhNếu bạn đã học đạo hàm thì làm như sau
$f(x)=x^2-6x+11\Rightarrow f'(x)=2x-6 $ luôn dương $ \forall x\in X=[4,7)$
Suy ra $f(x)$ là hàm tăng ngặt trong $X$
Một hàm tăng ngặt thì là đơn ánh , hơn nữa
$f(4)=3 , f(7)=18$ nên $f$ nhận mọi giá trị trong $[3.18)$ nghĩa là $f$ toàn ánh
Còn nếu bạn chưa học đạo hàm thì chứng minh $f$ là hàm tăng ngặt như sau
Với $ x , y\in X=[4,7)$ $x$ lớn hơn $y$
$f(x)-f(y)=x^2-6x-11-(y^2-6y+11)=(x^2-y^2)-6(x-y)$
$=(x-y)(x+y-6)$ lớn hơn $0$
vì $x-y , x+y-6$ đều dương
$2.$ Tìm hàm ngược của $f$
$f=x^2-6x+11\Leftrightarrow f=(x-3)^2+2 \Leftrightarrow x-3=\sqrt{f-2}$
Ở đây ta có thể lấy căn là vì $x-3\ge0 , f-2\ge0 \forall x\in X , f\in Y$
$\Leftrightarrow x=3+\sqrt{f-2}$
Đây chính là hàm ngược của $f$