Tích phân

Question

$1/ \int\limits_{0}^{\pi}\frac{x}{sinx+1}dx$

$2/ \int\limits_{2}^{6}\frac{dx}{2x+1+\sqrt{4x+1}}$

$3/ \int\limits_{0}^{\pi/4}tanxtan(x+\frac{\pi}{3})tan(x-\frac{\pi}{3})dx$

score 4 · Answer 1

3/ $tanx.tan(x + \frac{\pi }{3}).tan(x - \frac{\pi }{3})$

$= tanx.\frac{{tanx - \sqrt 3 }}{{1 + \sqrt 3 tanx}}.\frac{{tanx + \sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 3 tanx}}$

$= tanx.\frac{{ta{n^2}x - 3}}{{1 - 3ta{n^2}x}}$

$= \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\frac{{{{\sin }^2}x - 3{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x - 3{{\sin }^2}x}}$

$ = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}.\frac{{4{{\sin }^2}x - 3}}{{4{{\cos }^2}x - 3}}$

$= \frac{{4{{\sin }^3}x - 3\sin x}}{{4{{\cos }^3}x - 3\cos x}} = \frac{{ - \sin 3x}}{{\cos 3x}} = - \tan 3x$

$\Rightarrow \int\limits_0^{\pi /4} t anxtan(x + \frac{\pi }{3})tan(x - \frac{\pi }{3})dx = - \int\limits_0^{\pi /4} {\tan 3xdx} $

Do tan3x không xác định tại $x = \frac{\pi }{6} \in \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]$ nên tích phân này không tồn tại.

***Chú ý: Nếu sửa cận trên thành $\frac{\pi }{9}$ hay $\frac{\pi }{12}$ gì đó thì đặt $t = \cos 3x$ là xong.

score 4 · Answer 2

2. $dat t=\sqrt{4x+1} <=> t^{2}=4x+1<=> dx=\frac{tdt}{2}$

$va 2x+1=\frac{t^{2}}{2}+\frac{1}{2}$

$tich phan thanh \int\limits_{3}^{5}\frac{tdt}{(t+1)^{2}}=\int\limits_{3}^{5}\frac{dt}{t+1}-\int\limits_{3}^{5}\frac{dt}{(t+1)^{2}}$

$=ln6-ln4+\frac{1}{6}-\frac{1}{4}$

score 5 · Answer 3

1. Đặt: $t=\pi-x \Rightarrow dx=-dt$

Đổi cận: $x=0 \Rightarrow t=\pi$

$x=\pi \Rightarrow t=0$

Suy ra:

$I=-\int\limits_\pi^0\dfrac{\pi-t}{sin(\pi-t)+1}dt$

$=\int\limits_0^\pi\dfrac{\pi-t}{\sin t+1}dt$

$=\pi\int\limits_0^\pi\dfrac{dt}{\sin t+1}-I$

Từ đó suy ra:

$I=\dfrac{\pi}{2}\int\limits_0^\pi\dfrac{dt}{\sin t+1}$

$=\dfrac{\pi}{2}\left(\dfrac{2\sin\dfrac{t}{2}}{\sin\dfrac{t}{2}+\cos\dfrac{t}{2}}\right)\left|\begin{array}{l}\pi\\0\end{array}\right. =\pi$

ban ay giai cach nay hay ma cach nay minh nghj hay nhat roi – thiensugacoi_95 11-05-13 10:05 PM

bài 1 có thể làm bằng cách khác không? – Hello Kitty 11-05-13 09:03 PM

3 Đáp án