tim min

$\sqrt{a^2+m^2}+\sqrt{b^2+n^2}+\sqrt{c^2+p^2} \ge \sqrt{(a+b+c)^2+(m+n+p)^2}$
Thật vậy,
Trên mặt phẳng tọa độ Đề-các Oxy xét các điểm $O(0;0), A(-a;-m), B(b;n), C(-c;-p),D(a+b,m+n)$.
Theo bất đẳng thức tam giác ta có
$OA + OB \ge AB \Rightarrow \sqrt{a^2+m^2}+\sqrt{b^2+n^2} \ge \sqrt{(a+b)^2+(m+n)^2}$
$OC + OD \ge CD \Rightarrow \sqrt{c^2+p^2}+\sqrt{(a+b)^2+(m+n)^2} \ge \sqrt{(a+b+c)^2+(m+n+p)^2}$
Cộng theo từng vế hai bất đẳng thức trên và ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $O,A,B$ thẳng hàng, $O,C,D$ thẳng hàng, tức là
$\overrightarrow{OA}$ cùng hướng với $\overrightarrow{OB}\Leftrightarrow \frac{a}{m}=\frac{b}{n}$
$\overrightarrow{OC}$ cùng hướng với $\overrightarrow{OD}\Leftrightarrow \frac{a+b}{m+n}=\frac{c}{p}$
Tóm lại đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \frac{a}{m}=\frac{b}{n}=\frac{c}{p}$

Quay trở lại bài toán của chúng ta và đặt $a=\log_2 x, b=\log_2 y, c=\log_2 z, m=1, n=1, p=2$.
Dễ thấy, với $xyz=8\implies a+b+c=\log_2 x+\log_2 y+\log_2 z=\log_2 xyz=3$
Áp dụng BĐT trên ta có
$P=\sqrt{a^2+m^2}+\sqrt{b^2+n^2}+\sqrt{c^2+p^2} \ge \sqrt{(a+b+c)^2+(m+n+p)^2}\ge \sqrt{(3)^2+(4)^2}=5$.
Như vậy GTNN của $P$ là $5$ đạt được khi và chỉ khi $\begin{cases}a+b+c=3 \\ \frac{a}{1}=\frac{b}{1}=\frac{c}{2} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=\frac{3}{4} \\b=\frac{3}{4} \\a=\frac{3}{2} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=\sqrt[4]{8} \\ y=\sqrt[4]{8} \\z=\sqrt{8} \end{cases}$