Bài toán này áp dụng BĐT sau:
-Nếu $0\leq a\leq 1$ thì $a^2\leq \sqrt{a} $ dấu bằng xảy ra khi $a=0$ hoặc $a=1$(*)
-Với mọi $a,b$ ta có BDT sau : $(a+b)^2 \leq 2(a^2+b^2)$ dấu bằng xảy ra khi $a=b$ (**)
Áp dụng BĐT (*) ta có $\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x} \geq \sin^{2}x+\cos^{2}x =1$
$y_{min} =1 $ đạt được chẳng hạn $x=0$
Áp dụng BDT (**) $(\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x})^2 \leq 2(\sin x+\cos x) $ và $ (\sin x+\cos x)^2 \leq 2(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x)=2$
Suy ra $y^2\leq 2\sqrt{2}$
$y_{max} = \sqrt[4]{8}$ có thể đạt được khi $x=\frac{\pi}{4}$
Vậy $y_{min}=1 ,y_{max}=\sqrt[4]{8}$