Điều kiện: {x>0x2−1>0⇔x>1. Đặt x=1cosα,α∈(0;π2)
BPT ⇔1cosα+1sinα>3√52
⇔2(sinα+cosα)>3√5sinαcosα (*)
Đặt t=sinα+cosα=√2cos(t−π4)∈(1;√2]
⇒sinαcosα=t2−12
Khi đó:
BPT (*) ⇔2t>3√5t2−12⇔3√5t2−4t−3√5<0
⇔−√53<t<√53⇔√22<cos(t−π4)<3√10
⇔[π4>t−π4>φ−π4<t−π4<−φ ( với cosφ=3√10,φ∈(0;π2)
⇔[π4+φ<t<π20<t<π4−φ
Do hàm số y=cosx nghịch biến trên [0;π] nên:
[0<cost<cos(π4+φ)cos(π4−φ)<cost<1
Hơn nữa : {cos(π4+φ)=1√2(cosφ−sinφ)=1√2(3√10−1√10)=1√5cos(π4−φ)=1√2(cosφ+sinφ)=2√5
Do đó nghiệm BPT đã cho là [x>√51<x<√52