Bài 112416

Question

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường cong $ y = x \ln x , y = 0, x = e.$
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $(H)$ quanh trục $Ox$

score 0 · Answer 1

Phương trình hoành độ giao điểm của các đường $ y = x \ln x $ và $ y = 0$ là :
     $ x \ln x = 0 \Leftrightarrow \begin{cases}\ln x=0\\ x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = 1$
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $(H)$ quanh trục hoành là :
             $ V = \pi \int\limits_{1}^{e}[x \ln x ]^2 dx$
Đặt : $\begin{cases}u= \ln ^2 x\\ dv = x^2dx \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}du=\frac{2}{x}\ln xdx \\ v=\frac{x^3}{3} \end{cases} $
   $ \Rightarrow \frac{V}{\pi} = \left ( \frac{x^3}{3}\ln ^2x \right )\left| \begin{array}{l}
e\\
1
\end{array} \right. -\frac{2}{3} \int\limits_{1}^{e} x^2\ln xdx = \frac{e^3}{3} - \frac{2}{3} \int\limits_{1}^{e} x^2 \ln xdx$       (1)
Đặt : $ \begin{cases}u= \ln x\\ dv=x^2 dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=\frac{dx}{x} \\ v=\frac{x^3}{3} \end{cases}$
$\Rightarrow \int\limits_{1}^{e} x^2\ln xdx = \left (\frac{x^3}{3}\ln x   \right )\left| \begin{array}{l}
e\\
1
\end{array} \right. - \frac{1}{3} \int\limits_{1}^{e}x^2dx = \frac{e^3}{3} - \left ( \frac{x^3}{9} \right )\left| \begin{array}{l}
e\\
1
\end{array} \right.$
     $ = \frac{e^3}{3} - \frac{1}{9}(e^3 -1) = \frac{2e^3+1}{9}$                      (2)
Thế (2) vào (1) ta có : $\frac{V}{\pi } = \frac{e^3}{3} - \frac{4e^3+2}{27} = \frac{5e^3-2}{27}$
Vậy : $ V = \frac{\pi (5e^3-2)}{27}$    (đvdt).

Bài 112416

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112416

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan