Bài 110208

Question

Cho tam giác $ABC$ có cạnh $BC$ cố định.Tìm tập hợp trực tâm $H$ của tam giác khi đỉnh $A$ di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

score 0 · Answer 1

$a.$ Sử dụng phép đối xứng trục :
Gọi $H'$ là giao điêm của $AH$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$
Ta có : $\widehat{A_1}=\widehat{C_1} $ (cùng phụ với $\widehat{B} $)
$\widehat{C_2}=\widehat{A_1} $ (cùng chắn cung $BH'$)
$\Rightarrow \widehat{C_1} =\widehat{C_2} $
Từ đây suy ra $H$ là ảnh của $H'$ qua phép đối xứng trục $BC$.Khi $A$ di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.Suy ra tập hợp các điểm $H$ là đường tròn $(O')$ ảnh của đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ qua phép đối xứng trục $BC$.
$b.$ Sử dụng phép đối xứng tâm
Gọi $A'$ là điểm xuyên tâm đối của điểm $A$.Dễ thấy :
$A'B//CH$ và $A'C//BH$
$\Rightarrow $ tứ giác $A'BHC$ là hình bình hành, suy ra $H,A'$ đối xứng nhau qua trung điểm $I$ của $BC$
Khi $A$ di chuyển trên đường tròn $(O)$ thì $A'$ cũng di chuyển trên đường tròn $(O)$ và do đó $H$ di chuyển trên đường tròn ảnh của đường tròn $(O)$ qua phép đối xứng tâm $I$ trung điểm của cạnh $BC$
$c.$ Sử dụng phép tịnh tiến
$A'$ là điểm xuyên tâm đối của $A$.$I$ là trung điểm của $BC$
Dễ thấy tứ giác $A'BHC$ là hình bình hành nên $I$ là trung điểm của $A'H$.Kết hợp với $O$ là trung điểm của $AA'$ thì $OI$ là đường trung bình nên $OI//AH$ và $OI=\frac{1}{2} $ cho ta : $\overrightarrow {AH} =2\overrightarrow {OI} $
ĐẲng thức này chứng tỏ $H$ là ảnh của $A$ trong phép tịnh tiến theo véctơ $2\overrightarrow {OI} $.Vậy khi $A$ si chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ thì $H$ di chuyển trên đường tròn $(O')$ ảnh của đường tròn $O$ qua phép tịnh tuyển theo véctơ $2\overrightarrow {OI} $.Dễ thấy $OO'=2OI$

Bài 110208

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110208

1 Đáp án

Liên quan

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

Lý thuyết liên quan