Bài 109625

Question

Trên trục $x'Ox$ cho bốn điểm $A,B,C,D$ có tọa độ lần lượt là $a,b,c,d$ thỏa mãn hệ thức $\overline{CA}.\overline{DB}+\overline{CB}.\overline{DA}=0$. Chứng minh rằng:
a) $2(ab+cd)=(a+b)(c+d).$
b) Khi gốc $O$ là trung điểm của đoạn $AB$, ta có: $a^2=b^2=cd$.
c) Khi gốc $O$ trùng với điểm $A$, ta có: $\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=\frac{2}{b}. $
d) $\frac{1}{\overline{AC}}+\frac{1}{\overline{BC}}+\frac{1}{\overline{AD}}+\frac{1}{\overline{BD}}=0. $

score 0 · Answer 1

a) Ta có: $\overline{CA}.\overline{DB}+\overline{CB}.\overline{DA}=0     \Leftrightarrow     (a-c)(b-d)+(b-c)(a-d)=0$
$\Leftrightarrow     ab-ad-cb+cd+ab-bd-ca+cd=0$
$\Leftrightarrow     2(ab+cd)=ad+cb+bd+ca=a(d+c)+b(c+d)$
$\Leftrightarrow     2(ab+cd)=(c+d)(a+b)                      (1)$.

b) Khi gốc $O$ là trung điểm của $AB     \Leftrightarrow    a=-b   \Rightarrow    \begin{cases}a^2=b^2 \\ a+b=0 \end{cases} $
Theo câu a) ta có: $2(ab+cd)=(c+d)(a+b)     \Leftrightarrow     2(-b^2+cd)=0$
                                             $\Leftrightarrow     -b^2+cd=0       \Leftrightarrow      a^2=b^2=cd.$

c) Khi gốc $O$ trùng $A$, ta có $a=0$
Thay vào $(1)$ ta có: $2cd=bc+bd$
Chia hai vế cho $dbc \neq 0$ ta có: $\frac{2cd}{cbd}=\frac{bc}{bcd}+\frac{bd}{bcb}     \Leftrightarrow      \frac{2}{b}=\frac{1}{d}+\frac{1}{c}   $.

d) Theo câu c) ta có: $\frac{2}{b}=\frac{1}{c}+\frac{1}{d}    \Leftrightarrow     \frac{2}{\overline{AB}}=\frac{1}{\overline{AC}}+\frac{1}{\overline{AD}}     (2)$ vì ($O \equiv A)$
Cho $O \equiv B$, tương tự như câu c) ta chứng minh được:

$\frac{2}{a}=\frac{1}{d}+\frac{1}{c} \Leftrightarrow \frac{2}{\overline{BA}} = \frac{1}{\overline{BC}}+\frac{1}{\overline{BD}} (3)$

Cộng $(2),(3)$ vế theo vế ta có: $\frac{1}{\overline{AC}}+\frac{1}{\overline{BC}}+\frac{1}{\overline{AD}}+\frac{1}{\overline{BD}}=0. $

Bài 109625

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109625

1 Đáp án

Liên quan

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

TRỤC TOẠ ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ

Lý thuyết liên quan