Bài 109437

Question

Cho $\Delta ABC$ có $BC=a, CA=b,AB=c.$
a) Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} $. Suy ra $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AB}.$
b) $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$. TÍnh $AG$ và cosin của góc nhọn hợp bởi $AG$ và $BC$

score 0 · Answer 1

a) Ta có: $\overrightarrow{BC}^2=|\overrightarrow{BC} |^2=BC^2=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} )^2=AC^2+AB^2-2 \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}   $
Suy ra: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{AC^2+AB^2-BC^2}{2}= \frac{b^2+c^2-a^2}{2}   $
Tương tự ta có:
$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA}=\frac{a^2+c^2-b^2}{2};   \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2}      $
Suy ra:   $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}      $
$=-(\frac{c^2+a^2-b^2}{2}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2} )=-\frac{a^2+b^2+c^2}{2} $.

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2 \overrightarrow{AM}   $ với $M$là trung điểm của $BC$.
Và: $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}   $.   Vậy   $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} ) $
Suy ra: $AG^2=\overrightarrow{AG}^2=\frac{1}{9}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} )^2=\frac{1}{9}(AB^2+AC^2+2.\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} )   $
$=\frac{1}{9}(b^2+c^2+b^2+c^2-a^2)=\frac{1}{9}(2b^2+2c^2-a^2) $
$\Rightarrow AG=\frac{1}{3} \sqrt{2(b^2+c^2)-a^2} $
Gọi $\alpha$ là góc nhọn tạo bởi $AG, BC$.
Ta có: $|\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{BC} |=AG.BC.\cos \alpha$
Ta có: $\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} )(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} )=\frac{1}{3}(AC^2-AB^2)=\frac{1}{3}(b^2-c^2)     $
Vậy $\cos \alpha =\frac{|b^2-c^2|}{a\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2} } $.

Bài 109437

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109437

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan