Bài 108840

Question

Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P), có phương trình:
$(P): 2x+y-z+4=0$
Lập phương trình đường thẳng $(d_1)$ đối xứng với (d) qua (P) biết:
$(d): \frac{x-3}{5}=\frac{y-1}{0}=\frac{z-5}{4} $

score 0 · Answer 1

Mặt phẳng (P) có một vtpt $\overrightarrow{n}(2; 1; -1) $
a) Gọi $\overrightarrow{a} $ là vtcp của (d), ta được $\overrightarrow{a}(-2; -1; 1) $
Nhận xét rằng $\overrightarrow{a}//\overrightarrow{n}   \Leftrightarrow (d) \bot (P)$
Vậy $(d_1)\equiv   (d)$
b) Gọi $\overrightarrow{a} $ là vtcp của (d), ta được $\overrightarrow{a}(3; -1; 5) $. Nhận xét rằng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{n}=2.3-1.1-1.5=0 \Leftrightarrow   (d)//(P)$
Lấy A(0; 2; 0) thuộc (d) và gọi $A_1$ là điểm đối xứng với A qua (P). Gọi $(\Delta)$ là đường thẳng qua A và vuông góc với (P), ta có:
         $(\Delta): \begin{cases}qua A(0; 2; 0)\\ vtcp \overrightarrow{n}(2; 1; -1) \end{cases} \Leftrightarrow (\Delta): \begin{cases}x=2t \\ y=1+t\\z=-t \end{cases} , t\in R $
Họi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P), suy ra H chính là giao điểm của $(\Delta)$ và (P) do đó H(-2; 1; 1)
Vì H là trung điểm của $AA_1$ nên suy ra $A_1(-4; 0; 2)$
Phương trình đường thẳng $(d_1)$ được cho bởi:
         $(d_1): \begin{cases}qua A_1(-4; 0; 2) \\ vtcp \overrightarrow{a}(3; -1; 5) \end{cases} \Leftrightarrow (d_1): \begin{cases}x=-4+3t \\ y=-t\\z=2+5t \end{cases} , t\in R$
c) Gọi $\overrightarrow{a} $ là vtcp của (d), ta được $\overrightarrow{a}(5; 0; 4)$
Nhận xét rằng $\overrightarrow{a}. \overrightarrow{n}=2.5-1.4=6 \Leftrightarrow (d) cắt (P) tại I $
Xét hệ phương trình tạo bởi (d) và (P):
        $\begin{cases} 2x+y-z+4=0\\ \frac{x-3}{5}=\frac{y-1}{0}=\frac{z-5}{4} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=-2 \\ y=1\\z=1 \end{cases} \Rightarrow I(-2; 1; 1) $
Lấy điểm A(3; 1; 5) thuộc (d) và gọi $A_1$ là điểm đối xứng với A qua (P)
Gọi $(\Delta)$ là đường thẳng qua A và vuông góc với (P), ta có:
         $(\Delta): \begin{cases}qua A(3; 1; 5)\\ vtcp \overrightarrow{n}(2; 1; -1) \end{cases} \Leftrightarrow (\Delta): \begin{cases}x=3+2t \\ y=1+t\\z=5-t \end{cases} , t\in R $
Họi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P), suy ra H chính là giao điểm của $(\Delta)$ và (P) do đó H(1; 0; 6)
Vì H là trung điểm của $AA_1$ nên suy ra $A_1(-1; -1; 7)$
Phương trình đường thẳng $(d_1)$ được cho bởi:
         $(d_1): \begin{cases}qua A_1(-1; -1; 7) \\ vtcp \overrightarrow{IA_1}(1; -2; 6) \end{cases} \Leftrightarrow (d_1): \begin{cases}x=-1+t \\ y=-1-2t\\z=7+6t \end{cases} , t\in R$

Bài 108840

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108840

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan