Bài 107715

Question

Tìm những điểm trên elip $(E): \frac{x^2}{9}+y^2=1 $
$a.$ Có bán kính qua tiêu điểm trái bằng $2$ lần bán kính qua tiêu điểm phải
$b.$ Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông
$c.$ Nhìn hai tiêu điểm dưới góc $60^0$

score 0 · Answer 1

$a^2=9\Rightarrow a=3;b^2=1\Rightarrow b=1;c^2=a^2-b^2=8\Rightarrow c=2\sqrt{2} $
Elip $(E)$ có các tiêu điểm $F_1(-2\sqrt{2};0) ,F_2(2\sqrt{2};0 )$
$a.$ Gọi $M(x;y)\in R$ là điểm cần tìm. Khi đó
$MF_1=2MF_2\Leftrightarrow a+ex=2(a-ex)\Leftrightarrow x=\frac{a}{3e} =\frac{a^2}{3c}=\frac{3}{2\sqrt{2} } $
$M\in (E)\Rightarrow y^2=1-\frac{x^2}{9} =1-\frac{9}{9.8} =\frac{7}{8} \Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{7} }{2\sqrt{2} } $
Có hai điểm cần tìm : $(\frac{3}{2\sqrt{2} } ;\frac{\sqrt{7} }{2\sqrt{2} } )$ và $(\frac{3}{2\sqrt{2} } ;-\frac{\sqrt{7} }{2\sqrt{2} } )$
$b.$ Gọi $N(x;y)\Rightarrow (E)$ là điểm cần tìm khi đó :
$\overrightarrow {F_1N} =(x+2\sqrt{2};y ),\overrightarrow {F_2N}=(x-2\sqrt{2};y ) $
$\overrightarrow {F_1N}\bot \overrightarrow {F_2N}\Leftrightarrow \overrightarrow {F_1N}.\overrightarrow {F_2N}=0 $
$\Leftrightarrow (x+2\sqrt{2} )(x-2\sqrt{2} )+y^2=0\Leftrightarrow x^2-8+y^2=0$
$N\in (E)\Rightarrow y^2=1-\frac{x^2}{9} \Rightarrow x^2=\frac{63}{8} \Rightarrow x=\pm \frac{3\sqrt{7} }{2\sqrt{2} } \Rightarrow y=\pm \frac{1}{2\sqrt{2} } $
có bốn điểm cần tìm : $(\pm \frac{3\sqrt{7} }{2\sqrt{2} } ;\pm \frac{1}{2\sqrt{2} } )$
$c.$ Gọi $P(x;y)\in (E)$ là điểm cần tìm ta có :
$F_1F_2^2=F_1P^2+F_2P^2-2F_1P.F_2Pcos60^0=(F_1P+F_2P)^2-2F_1P.F_2P-2F_1P.F_2P.\frac{1}{2} $
$=4a^2-3F_1P.F_2P=4a^2-3(a+ex)(e-ex)$
$=4a^2-3(a^2-e^2x^2)=a^2+3e^2x^2$
$\Rightarrow 4c^2=a^2+3\frac{c^2}{a^2} x^2\Rightarrow x^2=\frac{(4c^2-a^2)a^2}{3c^2} =\frac{(4.8-9)9}{3.8} =\frac{69}{8} \Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{69} }{2\sqrt{2} } $
$P\in (E)\Rightarrow y^2=1-\frac{x^2}{9} =1-\frac{23}{24} =\frac{1}{24} \Rightarrow y=\pm \frac{1}{2\sqrt{6} } $
Có bốn điểm cần tìm : $(\pm \frac{\sqrt{69} }{2\sqrt{2} };\pm \frac{1}{2\sqrt{6} } )$

Bài 107715

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107715

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan