Bài 107627

Question

Trong mặt phẳng tọa độ xét hai điểm $A(a;0),B(0;b)$ với $ab\neq 0$.gọi $(C)$ là đường tròn tiếp xúc với $Ox$ tại $A$ có tâm $C$ với tung độ $y_C=m$ trong đó $m$ là tham số ; $m\neq 0;m\neq a,b$
$a$ Đường thẳng $AB$ cắt đường tròn $(C)$ tại giao điểm thứ hai là $P$. Hãy xác định tọa độ điểm P
$b.$ Xác định tâm $K$ của đường tròn $(K)$ tiếp xúc với $Oy$ tại $B$ và đi qua $P$
$c.$ Xác định đường tròn $(C), (K)$ cắt nhau tạo $P,Q$ chứng tỏ rằng khi $m$ thay đổi đường thẳng $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định

score 0 · Answer 1

$a.$ Đường tròn $(C)$ tiếp xúc với $Ox$ tại $A(a;0)$ và có tung độ $y_C=m$ nên tâm $C$ có tọa độ $C(a;m)$ và bán kính $CA=|m|$
Do đó phương trình đường tròn $(C)$ là :
$(x-a)^2+(y-m)^2=m^2$
Phương trình đường thẳng $AB$ là $\frac{x}{a} +\frac{y}{b} =1$
Giao điểm của đường thẳng $AB$ và đường tròn $(C)$ là nghiệm của hệ :
$\begin{cases}\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1            (1)   \\ (x-a)^2+(y-m)^2=m^2        (2) \end{cases} $
Thế $x$ từ $(1) x=a(1-\frac{b}{y})$ vào $(2)$ ta được :
$\frac{a^2y^2}{b^2}+(y-m)^2=m^2 $
$\Leftrightarrow y[\frac{a^2+b^2y}{b}-2m ]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y=\frac{2mb^2}{a^2+b^2}     (tọa độ y_P)\\y = 0     (tọa độ y_A)\end{array} \right. $
Suy ra tọa độ điểm $P:(a(1-\frac{2mb}{a^2+b^2} );\frac{2mb^2}{a^2+b^2} )$
$b.$ Đường tròn $(K)$ tiếp xúc với $Oy$ tại $B(0;b)$ nên tâm $K$ của đường tròn này có tọa độ $K(x_K;b)$
Vì $(K)$ tiếp xúc với $Oy\Rightarrow $ bán kính của $(K):r=|x_K|\Rightarrow $ phương trình của $(K): (x-x_K)^2+(y-b)^2=x_K^2\Leftrightarrow x^2-2x_K.x+(y-b)^2=0$
Vì $P (a(1-\frac{2mb}{a^2+b^2} );\frac{2mb^2}{a^2+b^2} )\in (K) \Rightarrow $ tạo độ của $P$ thỏa mãn :
$a^2(1-\frac{2mb}{a^2+b^2} )^2-2a(1-\frac{2mb}{a^2+b^2} )x_K+b^2(1-\frac{2mb}{a^2+b^2} )^2=0$
$\Leftrightarrow 2a(1-\frac{2mb}{a^2+b^2} )x_K=(a^2+b^2)(1-\frac{2mb}{a^2+b^2} ) ^2$
$\Rightarrow x_K=\frac{a^2+b^2-2mb}{2a} $
Vậy tọa độ của $K$ là $K(x_K=\frac{a^2+b^2-2mb}{2a};b)$
$c.$ Phương trình đường tròn $(C)$
$(C) :(x-a)^2+(y-m)^2=m^2\Leftrightarrow x^2+y^2-2ax-2my+a^2=0       (4)$
Phương trình đường tròn $K$ :
$(x-x_K)^2+(y-b)^2=x_K^2$
$\Leftrightarrow (x-\frac{a^2+b^2-2mb}{2a} )^2+(y-b)^2=(\frac{a^2+b^2-2mb}{2a})^2 $
$\Leftrightarrow x^2+y^2-\frac{a^2+b^2-2mb}{2a}x-2by+b^2=0    (5)$
Lấy $(4)-(5)$ ta được :
$(\frac{a^2+b^2-2mb}{2a} )x+2(b-m)y+a^2-b^2=0$
$\Leftrightarrow -2(\frac{bx}{a} +y)m+(\frac{a^2-b^2}{a} )x+2by+a^2-b^2=0       (6)$
$\Rightarrow (6)$ là phương trình đường thẳng $PQ$
$(6)$ thỏa mãn với mọi $m$ khi :
$\begin{cases}\frac{bx}{a}+y=0 \\ (\frac{b^2-a^2}{a}x+2by+a^2-b^2=0 ) \end{cases}    (7)$
Nếu $a^2-b^2=0$ thì hệ trên cho $x=y=0$ nên $PQ$ luôn đi qua điểm cố định là gốc tọa độ
- Nếu $a^2-b^2\neq 0$ thì hệ $(7)$ có thể viết thành :
$\begin{cases}bx+ay=0 \\ (a^2-b^2)x+2aby=a^2-b^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{a(a^2-b^2)}{a^2+b^2} \\ y=-\frac{b(a^2-b^2)}{a^2+b^2} \end{cases} $
Tọa độ của $x;y$ này cũng đúng trong trường hợp $a^2-b^2=0$.Vậy đường thẳng $PQ$ luôn đi qua điểm cố định :
$\begin{cases}x=\frac{a(a^2-b^2)}{a^2+b^2} \\ y=-\frac{b(a^2-b^2)}{a^2+b^2} \end{cases}$

Bài 107627

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107627

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan