Bài 107381

Question

cho $A(2;4),B(3;1),C(1;4)$
$ d :x-y-1=0$
$a.$ Tìm $M\in d$ sao cho $AM+BM$ nhỏ nhất
$b.$ Tìm $N\in d$ sao cho $AN+CN$ nhỏ nhất.

score 0 · Answer 1

$a.$ Ta có $(2-4-1)(3-1-1)<0$
Vậy $A,B$ nằm khác phía đối với $d$
Ta có $AM+BM\geq AB=\sqrt{1+9}=\sqrt{10} $
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow M\in AB$
$\Leftrightarrow \begin{cases}M\in d \\ \overrightarrow {AM}=(x_M-2;y_M-4)cùng hướng \overrightarrow {AB}=(1;-3) \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}x_M=\frac{11}{4} \\ y_M=\frac{7}{4} \end{cases} \Rightarrow M(\frac{11}{4};\frac{7}{4} )$ thì $(AM+BM)min$
$b.$ Vì $A,C$ nằm cùng phía đối với nửa mặt phẳng có bờ $d$ ta phải tìm điểm $D$ đối xứng của $A$ qua $d$
Phương trình đường thẳng $\Delta $ qua $A$ và vuông góc với $d$:
$1(x-2)+1(y-4)=0\Leftrightarrow x+y-6=0$
Tọa độ giao điểm $I$ của $\Delta $ và $d$ là nghiệm của hệ phương trình :
$\begin{cases}x-y=1 \\ x+y=6 \end{cases} \Rightarrow I(\frac{7}{2} ;\frac{5}{2} )$
Do $I$ là trung điểm $AD$ nên $\begin{cases}x_D=2x_I-x_A=7-2=5 \\ y_D=2y_I-y_A=5-4=1 \end{cases} $
Ta có : $AN+CN=DN+CN\geq CD=5$
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}N\in d \\ \overrightarrow {CN}=(x_N-1;y_N-4) cùng hướng \overrightarrow {CD}=(4;-3) \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}y_N=x_N-1 \\ \frac{x_N-1}{4}=\frac{y_N-4}{-3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}y_N=x_n-1 \\ -3(x_N-1)=4(x_N-5) \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}x_N=\frac{23}{7} \\ y_N=\frac{16}{7} \end{cases} $
Do đó $N(\frac{23}{7};\frac{16}{7} )$ thì $AN+CNmin$

Bài 107381

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107381

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan