a) Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M$ và song song với $O'N$ và $B'D$
Chọn hệ trục ọa độ $Oxyz$ như sau:
-Gốc $O$
-Trục $Ox$ đi qua $OB$
-Trục $Oy$ đi qua $OD$
-Trục $Oz$ đi qua $OO'$
Khi đó: $B(a;0;0), C(a;b;0), D(0;b;0), D'(0;0;c), B'(a;0;c)$
$\Rightarrow M(\frac{a}{2};0;c ), N(a;\frac{b}{2};0 )$
Cặp vecto chỉ phương của $(\alpha )$ là $\overrightarrow{ON}=(a;\frac{b}{2};-c ), \overrightarrow{B'D}=(-a,b,c) $
$\Rightarrow $ Vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}_\alpha =[\overrightarrow{O'N},\overrightarrow{B'D} ]=(\frac{bc}{2};2ac;\frac{3ab}{2} ) $ hay $(bc;4ac;3ab)$
phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M$ là: $bc(x-\frac{a}{2} )+4ac.y+3ab(z-c)=0 \Leftrightarrow bcx+4acy+3abz-2abc=0$
b) Ta có: $V=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{ON}, \overrightarrow{OD} ]\overrightarrow{OO'}| $
Mà $\overrightarrow{ON}=(a;\frac{b}{2};0 ) , \overrightarrow{OD}=(0;b;0) \Rightarrow [\overrightarrow{ON},\overrightarrow{OD} ]=(0;0;ab)$
$OO'=(0;0;c)\Rightarrow V=\frac{1}{6}|abc|=\frac{1}{6}abc $