Bài 106719

Question

Tính các tích phân:
$\begin{array}{l}
a)\,\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1 + \sin 2x + cos2x}{sinx+ \cos x}dx} \\
b)\,\,\int\limits_0^1 {\frac{(1 + e^x)^2}{1 + e^{2x}}} dx
\end{array}$

score 0 · Answer 1

$\begin{array}{l}
a)\,\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + \sin 2x + c{\rm{os}}2x}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x}}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x)}^2} - \left( {{{\sin }^2}x - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} \right)}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x}}dx} \\
= \,\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {2\cos xdx} = 2\sin x\left| \begin{array}{l}
\frac{\pi }{2}\\
\frac{\pi }{6}
\end{array} \right. = 1\\
b)\,\,\int\limits_0^1 {\frac{{(1 + {e^x})}}{{1 + {e^{2x}}}}} dx = \int\limits_0^1 {\left( {1 + \frac{{2{e^x}}}{{1 + {e^{2x}}}}} \right)} dx = 1 + 2\int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{1 + {e^{2x}}}}} dx\\
= 1 + 2\int\limits_0^1 {\frac{{d({e^x})}}{{1 + {e^{2x}}}}} = 1 + 2\left( {\varphi - \frac{\pi }{4}} \right) = 1 - \frac{\pi }{2} + 2\varphi
\end{array}$
Với $\varphi \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right];\,\,\tan \varphi = e$

Bài 106719

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106719

1 Đáp án

Liên quan

Tích phân hàm cơ bản

Lý thuyết liên quan