Bài 106516

Question

a) Chứng minh rằng nếu $C^{P}_{N}=C^{Q}_{N} $ trong đó $P \leq N, Q \leq N $ thì
$P=Q$ hoặc $P+Q=N$
b) Giải phương trình: $C^{x+5}_{13+2x}=C^{3x-1}_{13+2x} $

score 0 · Answer 1

a) Ta có: $$C^{P}_{N}=\frac{N!}{P!(N-P)!};    C^{Q}_{N}=\frac{N!}{Q!(N-Q)!} $$$$C^{P}_{N}=C^{Q}_{N}       \Leftrightarrow   P!(N-P)!=Q!(N-Q)!     (1)$$Giả sử $P\neq Q , P\neq N-Q$
Nếu $P<Q$ thì $N-P>N-Q$. Từ $(1)$ suy ra: $\dfrac{(N-P)!}{(N-Q)!}=\dfrac{Q!}{P!} $
$\Leftrightarrow (N-P)(N-P-1)...(N-P+1)=Q(Q-1)...(Q+1)             (2)$

Hai vế của $(2)$ đều là tích của $Q-P$ thừa số.

Nếu $P\neq N-Q$ thì $Q\neq N-P$ do đó hai vế của $(2)$ là$2$ số khác nhau, điều này mâu thuẫn với đẳng thức $(2)$.

Nếu $Q<P$ cũng dẫn đến mâu thuẫn tương tự. Nếu $P=Q$ hoặc $P+Q=N$ thì hiển nhiên $C^{P}_{N}=C^{Q}_{N}$.

b) Áp dụng a)    $C^{x+5}_{13+2x}=C^{3x-1}_{13+2x} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x +5=3x+1\\x+5+3x-1=13+2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x=\frac{9}{2} (><)\end{array} \right.$
ĐS: $x=3$

Bài 106516

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106516

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan