Bài 105266

Question

Giải và biện luận theo $m$ hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
2x + \sqrt {y - 1} = m\\
2y + \sqrt {x - 1} = m
\end{array} \right.$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/23/2012 9:56:28 AM

Đặt $x = \sqrt {x - 1} ,v = \sqrt {y - 1}   {\rm{ (u,v }} \ge {\rm{0)}} \Rightarrow {\rm{ x}} = {u^2} + 1,y = {v^2} + 1.$
Từ đó hệ đã cho trở thành:
$\left\{ \begin{array}{l}
2{u^2} + v = m - 2\\
2{v^2} + u = m - 2
\end{array} \right.   (1)$
$ \Rightarrow (u - v)(2u + 2v - 1) = 0$

a) Với $u = v$, ta có $2{u^2} + u - (m - 2) = 0$
Nếu phương trình có nghiệm $u_1, u_2$ thì theo hệ thức Viet: ${u_1} + {u_2} = - 1/2$, suy ra chắc chắn có 1 nghiệm âm.
Vậy để hệ có nghiệm, phải có ${u_1}{u_2} \le 0$ $ \Leftrightarrow m \ge 2$ hay $m \ge 2$.
Khi đó chỉ có thể chọn $u = v = {\rm{[}} - 1 + \sqrt {8(m - 2) + 1} {\rm{]}}/4$ ; Từ đó suy ra $x, y$.

b) Với $2u + 2v = 1 \Rightarrow v = 1/2 - u$. Thế vào phương trình đầu của $(1)$ ta được $4{u^2} - 2u + 5 - 2m = 0$.
Điều kiện để phương trình có nghiệm :
    ${\Delta ^'} = 1 - 4(5 - 2m) = 8m - 19 \ge 0 \Rightarrow m \ge \frac{19}{8} $
Vì ${u_1} + {u_2} = \frac{1}{2} ,{u_1}{u_2} = \frac{5-2m}{4} $ nên suy ra:

i) $19/8 \le m \le 5/2:{\rm{ }}{u_1},{u_2} \ge 0$ (thích hợp), tức là có thể lấy $u = {u_1},v = {u_2};u = {u_2},v = {u_1}$ với
${u_{1,2}} = \frac{1\pm \sqrt{8m-19} }{4}$.             $(2)$

ii) $5/2 < m$ , khi đó ${u_1}{u_2} < 0$, chỉ có hể chọn $u = {u_1} > 0$
Nhưng lại phải chọn $v = {u_2} < 0$ nên không thích hợp.

Kết luận:
•    Nếu $m \ge 2$ hệ luôn luôn có nghiệm.
$u = v = {\rm{[}}1 + \sqrt {8(m - 2) + 1} {\rm{]}}/4$     ( suy ra $x, y$)
•    Ngoài ra, nếu $19/8 \le m \le 5/2$, hệ còn có nghiệm $(2)$

Bài 105266

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105266

1 Đáp án

Liên quan

Hệ phương trình đối xứng loại I + II và các bài toán liên quan

Lý thuyết liên quan