Bài 104999

Question

Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm duy nhất: $\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt x + \sqrt {1 - x} = m$ (1)

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/21/2012 10:59:14 AM

Điều kiện $0 \le x \le 1$
Nếu ${x_0}$ là nghiệm của $(1)$ thì $1 - {x_0}$ cũng là nghiệm của $(1)$.
Vậy để $(1)$ có nghiệm duy nhất điều kiện cần là $1 - {x_0} = {x_0} \Rightarrow {x_0} = \frac{1}{2}$ phải là nghiệm
Thay ${x_0} = \frac{1}{2}$ vào $(1)$ ta được $m = \sqrt 2 + \sqrt[4]{8}$

Ngược lại với $m = \sqrt 2 + \sqrt[4]{8}$, $(1)$ trở thành:
$\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{1 - x}} \le \sqrt 2 .\sqrt {x + 1 - x} = \sqrt 2 (2)$
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt x = \sqrt {1 - x} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$
Mặt khác $\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{1 - x}} \le \sqrt 2 .\sqrt {\sqrt x + \sqrt {1 - x} } \le \sqrt 2 .\sqrt {\sqrt 2 .\sqrt {x + 1 - x} } = \sqrt[4]{8}$
Dấu = cũng xảy ra khi và chỉ khi $x = 1 - x \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$
Suy ra $(2)$ được nghiệm đúng $ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$, tức là $(2)$ có nghiệm duy nhất
Vậy $m = \sqrt 2 + \sqrt[4]{8}$ là giá trị cần tìm.

Bài 104999

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104999

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan