Bài 104847

Question

Cho hệ bất phương trình:
$\begin{cases} x^{2}-6x+5 \leq 0 \\ x^{2}-2 \left( m+1 \right) x+m^{2}+1 \leq 0 \end{cases} $
Định m để hệ bất phương trình có nghiệm.

score 0 · Answer 1

$\begin{cases} x^{2}-6x+5 \leq 0(1) \\ x^{2}-2 \left( m+1 \right) x+m^{2}+1 \leq 0 (2) \end{cases} $
Nghiệm của $(1): 1 \leq x \leq 5$
$(2): x^{2}-2 \left(   m+1 \right) x+m^{2}+1: \Delta'=m^{2}+2m+1-m^{2}-1=2m$
Khi $m=0$ hệ có nghiệm $ x=1$
Khi $m>0   (2)$ có nghiệm $m+1-\sqrt{ 2m}<x<m+1+ \sqrt{ 2m}$
Để hệ bất phương trình có nghiệm thì
Trường hợp $1: \begin{cases} m+1-\sqrt{ 2m}\leq 1\\ m+1+\sqrt{ 2m} >1 \\ m+1+\sqrt{ 2m} \neq 5 \end{cases} \neq \begin{cases} m \leq \sqrt{ 2m}\\ m+ \sqrt{ 2m}>0 \\ \sqrt{ 2m}<4-m    \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases} m^{2} \leq 2m \\ m \leq 4 \\ 2m \leq 16-8m+m^{2}    \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 0<m \leq 2 \\ m^{2}-10m+16 \geq 0    \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 0<m \leq 2 \\ m \leq2 \vee m \geq 8 \end{cases} $
$\Rightarrow 0 \leq m \leq2 $
Trường hợp $2: \begin{cases} m+1- \sqrt{ 2m} \geq 1 \\ m+1+\sqrt{ 2m} \leq 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \geq \sqrt{ 2m} \\ \sqrt{ 2m} \leq 4-m    \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}   m \geq 2\\ m\leq 4 \\   2m \leq 16-8m+m^{2} \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}   m\geq 2\\ m\leq 1 \\ m^{2}-10m+16 \geq 0    \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}   2\leq m \leq 4 \\    2\leq m \leq 8 \end{cases} \Leftrightarrow 2 \leq m \leq 4$
Trường hợp $3: \begin{cases} m+1- \sqrt{ 2m} \geq 1\\ m+1- \sqrt{ 2m} <5 \\ m+1+ \sqrt{ 2m}\geq 5     \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m\geq \sqrt{ 2m} \\m-4 < \sqrt{ 2m} \\ \sqrt{ 2m} \geq 4-m    \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases} m^{2} \geq 2m\\ \left[ \begin{array}{l} m<4 \\ \begin{cases} m>4 \\ m^{2}-8m+16<2m \end{cases} \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{l} m>4 \\ \begin{cases} m<4 \\ 2m \geq 16-8m+m^{2} \end{cases} \end{array} \right. \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases} m \geq 2m \\ \left[ \begin{array}{l} m<4 \\ \begin{cases} m>4 \\ 2<m<8 \end{cases} \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{l} m>4 \\ \begin{cases} m<4 \\ 2 \leq m \leq 8 \end{cases} \end{array} \right.    \end{cases} $
$\Rightarrow 2 \leq m \leq 8$
Hợp nghiệm trường hợp được $0 \leq m \leq 8$.

Bài 104847

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104847

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ bất phương trình

Lý thuyết liên quan