Bài 101806

Question

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề các vuông góc $Oxy$, cho elip$\left( E \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$
$1$. Tìm mối quan hệ giữa $k$ và $m$ để đường thẳng $(d)$: $y = kx + m\left( { - \infty < k < + \infty } \right)$ tiếp xúc với elip $(E)$.
$2$. Khi $(d)$ tiếp tuyến với $(E)$, gọi giao điểm $(d)$ với các đường thẳng $x = 5$ và $x = - 5$ là $M$ và $N$. Tính diện tích tam giác $FMN$ theo $k$, trong đó $F$ là tiêu điểm của $(E)$ có hoành độ dương.
$3$. Xác định k để tam giác $FMN$ có diện tích bé nhất.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/27/2012 2:08:46 PM

$1$. Đường thẳng $y = kx + m \Leftrightarrow kx - y + m = 0$ sẽ tiếp xúc với elip $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$ khi và chỉ khi $25.{k^2} + 16{\left( { - 1} \right)^2} = {m^2} \Leftrightarrow 25{k^2} - {m^2} + 16 = 0$ (*)

$2$. Thế $x = 5,x = - 5$ vào phương trinh $(d)$ ta được $M\left( { 5; 5k + m} \right)$ và $N\left( { - 5; - 5k + m} \right)$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {NM} = 10\left( {1,k} \right) \Rightarrow NM = 10\sqrt {1 + {k^2}} $. $F$ là tiêu điểm với hoành độ dương

$ \Rightarrow F\left( {3,0} \right)$ ; $\overrightarrow {FM} = \left( {2,5k + m} \right);\,\overrightarrow {FN} = \left( { - 8, - 5k + m} \right)$
$\overrightarrow {FM} .\overrightarrow {FN} = 16 + ({m^2} - 25{k^2}) = 0$ do (*)

$ \Rightarrow FN \bot FM$$ \Rightarrow \Delta FMN$ có diện tích $S = \frac{1}{2}.FM.FN = \frac{1}{2}\sqrt {4 + {{\left( {5k + m} \right)}^2}} .\sqrt {64 + {{\left( {5k - m} \right)}^2}} $
Vậy $\left\{ \begin{array}{l}
S = \frac{1}{2}\sqrt {4 + {{\left( {5k + m} \right)}^2}} .\sqrt {64 + {{\left( {5k - m} \right)}^2}} \\
{m^2} = 25{k^2} + 16
\end{array} \right.$

$3$. Đặt $t = 5k + m$ thì (*)
$\Rightarrow m - 5k = \frac{{16}}{t}$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow 4{S^2} = \left( {4 + {t^2}} \right)\left( {64 + \frac{{{{16}^2}}}{{{t^2}}}} \right) = 64\left( {4 + {t^2}} \right)\left( {1 + \frac{4}{{{t^2}}}} \right)\\
= 64\left( {8 + {t^2} + \frac{{16}}{{{t^2}}}} \right) \ge 64\left( {8 + 2.\sqrt {{t^2}.\frac{{16}}{{{t^2}}}} } \right) = 64.16\\
\Leftrightarrow {S^2} \ge 64.4 \Rightarrow S \ge 16;\,S = 16 \Leftrightarrow {t^2} = \frac{{16}}{{{t^2}}} \Leftrightarrow t = \pm 2
\end{array}$
Với $t =2$, có $\left\{ \begin{array}{l}
m + 5k = 2\\
m - 5k = 8
\end{array} \right. \Rightarrow k = - 0,6$
Với $t =-2$, có $\left\{ \begin{array}{l}
m + 5k = - 2\\
m - 5k = - 8
\end{array} \right. \Rightarrow k = 0,6$
Vậy $\Delta $ $FMN$ có diện tích bé nhất bằng $16$ $ \Leftrightarrow k = \pm 0,6$

Bài 101806

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101806

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan